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2017年贵州省黔东南州中考数学试卷(含答案)-



2017 年贵州省黔东南州中考数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．| ﹣2| 的值是（ A．﹣ 2 B．2
）
C．﹣ D．
2．如图，∠ ACD=120°，∠ B=20°，则∠ A 的度数是（ ）
A．120°B．90°C．100°D．30° 3．下列运算结果正确的是（


）
22
A．3a﹣a=2 B．（a﹣ b） =a﹣b22C．6ab ÷（﹣ 2ab）=﹣3b D．a（a+b） =a2+b 4．如图所示，所给的三视图表示的几何体是（
）
A．圆锥


B．正三棱锥 C．正四棱锥 D．正三棱柱
5．如图，⊙ O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，∠ A=15°，半径为 2，则弦 CD
的长为（ ）
A．2 B．﹣ 1 C． D．4


6．已知一元二次方程 x2﹣2x﹣ 1=0 的两根分别为 x1，x2，则 A．2
B．﹣ 1 C．
D．﹣ 2

+ 的值为（

）


第1页（共 27页）



7．分式方程 =1﹣ 的根为（ D．1 或﹣3
）
A．﹣1 或 3 B．﹣1 C．3

8．如图，正方形 ABCD中， E 为 AB 中点， FE⊥AB，AF=2AE，FC交 BD 于 O，则
∠ DOC的度数为（


）
A．60°B．67.5 ° C． 75°D．54°

9．如图，抛物线 y=ax2+bx+c（ a≠ 0）的对称轴为直线 x=﹣ 1，给出下列结论：

① b2=4ac；② abc＞0；③ a＞c；④ 4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（


）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

10．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约


13 世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（
na+b）
的展开式的各项系数，此三角形称为 “杨辉三角
”．



根据 “杨辉三角 ”请计算（ a+b） 20 的展开式中第三项的系数为（ ）


A．2017 B．2016 C．191 D． 190
第2页（共 27页）



二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）

11．在平面直角坐标系中有一点


A（﹣ 2，1），将点 A 先向右平移 3 个单位，再
向下平移 2 个单位，则平移后点 A 的坐标为

．
12．如图，点 B、 F、C、 E 在一条直线上，已知 FB=CE，AC∥DF，请你添加一个 适当的条件


使得△ ABC≌△ DEF．
13．在实数范围内因式分解： x﹣ 4x=

5．
14．黔东南下司 “蓝每谷 ”以盛产 “优质蓝莓 ”而吸引来自四面八方的游客，某果农今年的蓝莓得到了丰收， 为了了解自家蓝莓的质量， 随机从种植园中抽取适量蓝莓进行检测，发现在多次重复的抽取检测中 “优质蓝莓 ”出现的频率逐渐稳定在

0.7，该果农今年的蓝莓总产量约为 800kg，由此估计该果农今年的 “优质蓝莓 ”产

量约是


kg．
A，B 分别在反比例函数
y1=﹣ ．
和 y2= 的图象上，若点 A 是
15．如图，已知点


线段 OB 的中点，则 k 的值为
第3页（共 27页）



16．把多块大小不同的 30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第

一块三角板 AOB的一条直角边与 y 轴重合且点 A 的坐标为（ 0，1），∠ABO=30°；
第二块三角板的斜边 BB1 与第一块三角板的斜边 AB 垂直且交 y 轴于点 B1；第三

块三角板的斜边 B1B2 与第二块三角板的斜边 BB1 垂直且交 x 轴于点 B2；第四块三 角板的斜边 B2B3 与第三块三角板的斜边 B1B2C 垂直且交 y 轴于点 B3； 按此规律

继续下去，则点 B2017 的坐标为


．
三、解答题（本大题共 8 小题，共 86 分）
﹣ 2
0


17．计算：﹣ 1 +| ﹣ |+ （π﹣3.14） ﹣ tan60 °+ ．
18．先化简，再求值： （x﹣1﹣ ）÷ ，其中 x= +1．
第4页（共 27页）



19．解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
20．某体育老师测量了自己任教的甲、 乙两班男生的身高， 并制作了如下不完整
的统计图表．
身高分组
频数 频率 152≤ x＜ 155
3 0.06 155≤ x＜ 158
7 0.14 158≤ x＜ 161
m 0.28 161≤ x＜ 164
13 n 164≤ x＜ 167
9 0.18 167≤ x＜ 170
3 0.06 170≤ x＜ 173
1
0.02
根据以上统计图表完成下列问题： （ 1）统计表中 m=
， n= ，并将频数分布直方图补充完整；
（ 2）在这次测量中两班男生身高的中位数在：
范围内；
（ 3）在身高≥ 167cm 的 4 人中，甲、乙两班各有 2 人，现从 4 人中随机推选人补充到学校国旗护卫队中， 请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同
班级的概率．
第5页（共 27页）













2







21．如图，已知直线 PT 与⊙ O 相切于点 T，直线 PO 与⊙ O 相交于 A，B 两点．




（ 1）求证： PT2=PA?PB；
（ 2）若 PT=TB= ，求图中阴影部分的面积．
22．如图，某校教学楼 AB 后方有一斜坡，已知斜坡 CD的长为 12 米，坡角 α为

60°，根据有关部门的规定，∠ α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安

全隐患，决定对斜坡 CD进行改造，在保持坡脚 C 不动的情况下，学校至少要把

坡顶 D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）

（参考数据： sin39 °≈0.63，cos39°≈0.78， tan39 °≈ 0.81， ≈1.41，

≈ 1.73，
≈ 2.24）



第6页（共 27页）



23．某校为了在九月份迎接高一年级的新生， 决定将学生公寓楼重新装修， 现学

校招用了甲、乙两个工程队．若两队合作，


8 天就可以完成该项工程；若由甲队
18 天才能完成．
先单独做 3 天后，剩余部分由乙队单独做需要


（ 1）求甲、乙两队工作效率分别是多少？
（ 2）甲队每天工资 3000 元，乙队每天工资 1400 元，学校要求在 12 天内将学生 公寓楼装修完成，若完成该工程甲队工作
m 天，乙队工作 n 天，求学校需支付
m 的取值范

的总工资 w（元）与甲队工作天数

m（天）的函数关系式，并求出
围及 w 的最小值．


24．如图，⊙ M 的圆心 M（﹣ 1， 2），⊙ M 经过坐标原点 O，与 y 轴交于点 A，经过点 A 的一条直线 l 解析式为： y=﹣ x+4 与 x 轴交于点 B，以 M 为顶点的抛物线经过 x 轴上点 D（2，0）和点 C（﹣ 4，0）．



（ 1）求抛物线的解析式；
（ 2）求证：直线 l 是⊙ M 的切线；
（ 3）点 P 为抛物线上一动点，且 PE 与直线 l 垂直，垂足为 E， PF∥y 轴，交直线 l 于点 F，是否存在这样的点 P，使△ PEF的面积最小？若存在，请求出此时点


P 的坐标及△ PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．
第7页（共 27页）



2017 年贵州省黔东南州中考数学试卷

参考答案与试题解析


一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．| ﹣2| 的值是（ ）

A．﹣ 2 B．2 C．﹣
D．

【考点】 15：绝对值．
【分析】 根据绝对值的性质作答．
【解答】 解：∵﹣ 2＜ 0，
∴ | ﹣2| =2． 故选 B．
2．如图，∠ ACD=120°，∠ B=20°，则∠ A 的度数是（A．120°B．90°C．100°D．30°
【考点】 K8：三角形的外角性质．
【分析】 根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】 解：∠ A=∠ACD﹣∠ B
=120°﹣ 20°
=100°，
故选： C．
3．下列运算结果正确的是（
）
A．3a﹣a=2 B．（a﹣ b） 2=a2﹣b2
C．6ab2 ÷（﹣ 2ab）=﹣3b D．a（a+b） =a2+b
【考点】 4I：整式的混合运算．
【分析】 各项计算得到结果，即可作出判断．
第8页（共 27页）
）
























【解答】 解： A、原式 =2a，不符合题意；

B、原式 =a2﹣2ab+b2，不符合题意；

C、原式 =﹣3b，符合题意；

D、原式 =a2+ab，不符合题意，

故选 C


4．如图所示，所给的三视图表示的几何体是（ ）
A．圆锥


B．正三棱锥 C．正四棱锥 D．正三棱柱
【考点】 U3：由三视图判断几何体．
【分析】由左视图和俯视图可得此几何体为柱体， 根据主视图是三角形可判断出

此几何体为正三棱柱．

【解答】 解：∵左视图和俯视图都是长方形，

∴此几何体为柱体，

∵主视图是一个三角形，

∴此几何体为正三棱柱．

故选： D．


5．如图，⊙ O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，∠ A=15°，半径为 2，则弦 CD

的长为（


）
A．2


B．﹣1 C． D．4
【考点】 M5：圆周角定理； KQ：勾股定理； M2：垂径定理．
【分析】根据垂径定理得到 CE=DE，∠ CEO=90°，根据圆周角定理得到∠ COE=30°，


第9页（共 27页）



根据直角三角形的性质得到 CE= OC=1，最后由垂径定理得出结论．


【解答】 解：∵⊙ O 的直径 AB 垂直于弦 CD，

∴ CE=DE，∠ CEO=90°， ∵∠ A=15°，

∴∠ COE=30°， ∵ OC=2，




∴ CE= OC=1， ∴ CD=2OE=2， 故选 A．


．已知一元二次方程 ﹣2x﹣ 1=0 的两根分别为 x ，x ，则 + 的值为（ 6 x 12 A．2 B．﹣1 C．D．﹣ 2





2）





【考点】 AB：根与系数的关系． 【 分析 】根 据 根与 系 数 的关 系得 到 x1+x2 ， 1 2 ﹣ ，利用通分得到
=2 x x = 1

+ =
，然后利用整体代入的方法计算



【解答】 解：根据题意得 x1+x2=2，x1x2=﹣1， 所以
+ =
= =﹣2．
故选 D．


7．分式方程 =1﹣ 的根为（ D．1 或﹣3
）
A．﹣1 或 3 B．﹣1 C．3
【考点】 B3：解分式方程．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到

x 的值，经检
验即可得到分式方程的解．

【解答】 解：去分母得： 3=x2+x﹣ 3x，

解得： x=﹣ 1 或 x=3，

第 10 页（共 27 页）



经检验 x=﹣1 是增根，分式方程的根为

x=3，
故选 C


8．如图，正方形 ABCD中， E 为 AB 中点， FE⊥AB，AF=2AE，FC交 BD 于 O，则
∠ DOC的度数为（
）
A．60°B．67.5 ° C． 75°D．54°
【考点】 LE：正方形的性质．
【分析】如图，连接 DF、BF．如图，连接 DF、BF．首先证明∠ FDB= ∠ FAB=30°，再证明△ FAD≌△ FBC，推出∠ ADF=∠ FCB=15°，由此即可解决问题．
【解答】 解：如图，连接 DF、 BF．
∵ FE⊥AB，AE=EB， ∴ FA=FB，
∵ AF=2AE，
∴ AF=AB=FB，
∴△ AFB是等边三角形，
∵ AF=AD=AB，
∴点 A 是△ DBF的外接圆的圆心，
∴∠ FDB= ∠FAB=30°，
第 11 页（共 27 页）





















∵四边形 ABCD是正方形，

∴ AD=BC，∠ DAB=∠ABC=90°，∠ ADB=∠

DBC=45°， ∴∠ FAD=∠FBC，
∴△ FAD≌△ FBC，

∴∠ ADF=∠FCB=15°，
∴∠
DOC=∠OBC+∠OCB=60°．故选 A．


9．如图，抛物线 y=ax2+bx+c（ a≠ 0）的对称轴为直线 x=﹣ 1，给出下列结论：

① b2=4ac；② abc＞0；③ a＞c；④ 4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（


）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

【考点】 H4：二次函数图象与系数的关系．

【分析】 ①利用抛物线与 x 轴有 2 个交点和判别式的意义对①进行判断；

②由抛物线开口方向得到 a＞0，由抛物线对称轴位置确定

b＞0，由抛物线与 y
轴交点位置得到 c＞ 0，则可作判断；

③利用 x=﹣1 时 a﹣ b+c＜0，然后把 b=2a 代入可判断；

④利用抛物线的对称性得到 x=﹣2 和 x=0 时的函数值相等，即 x=﹣2 时， y＞0，

则可进行判断．

【解答】 解：①∵抛物线与 x 轴有 2 个交点，

∴△ =b﹣4ac＞0，

2所以①错误；

②∵抛物线开口向上，

∴ a＞ 0，

∵抛物线的对称轴在 y 轴的右侧，



第 12 页（共 27 页）





∴ a、 b 同号， ∴ b＞ 0，
∵抛物线与 y 轴交点在 x 轴上方，



∴ c＞0， ∴ abc＞ 0， 所以②正确；

③∵ x=﹣1 时， y＜0，

即 a﹣b+c＜0，

∵对称轴为直线 x=﹣1，∴﹣ =﹣ 1，




∴ b=2a，
∴ a﹣ 2a+c＜0，即 a＞c， 所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线 x=﹣1，
∴ x=﹣2 和 x=0 时的函数值相等，即 x=﹣ 2 时， y＞0， ∴ 4a﹣2b+c＞0， 所以④正确．

所以本题正确的有：②③④，三个，

故选 C．


10．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约

13 世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（

a+b）
n

的展开式的各项系数，此三角形称为 “杨辉三角 ”．
第 13 页（共 27 页）



根据 “杨辉三角 ”请计算（ a+b） 20 的展开式中第三项的系数为（ ）

A．2017


B．2016 C．191 D． 190
【考点】 4C：完全平方公式．
【分析】 根据图形中的规律即可求出（ a+b）20 的展开式中第三项的系数；

【解答】 解：找规律发现（ a+b）3 的第三项系数为 3=1+2；



（ a+b） 的第三项系数为 6=1+2+3； （ a+b）5 的第三项系数为 10=1+2+3+4；
不难发现（ a+b）n 的第三项系数为 1+2+3+ +（n﹣2）+（n﹣1），
4
∴（ a+b）20 第三项系数为 1+2+3+ +20=190， 故选 D．


二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）

11．在平面直角坐标系中有一点 A（﹣ 2，1），将点 A 先向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，则平移后点 A 的坐标为 （1，﹣ 1） ．

【考点】 Q3：坐标与图形变化﹣平移．

【分析】 根据坐标平移规律即可求出答案．

【解答】解：由题意可知： A 的横坐标 +3，纵坐标﹣ 2，即可求出平移后的坐标，∴平移后 A 的坐标为（ 1，﹣ 1）

故答案为：（ 1，﹣ 1）


12．如图，点 B、 F、C、 E 在一条直线上，已知 FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件 ∠ A=∠D 使得△ ABC≌△ DEF．


【考点】 KB：全等三角形的判定．

【分析】 根据全等三角形的判定定理填空．

【解答】 解：添加∠ A=∠D．理由如下：


第 14 页（共 27 页）



∵ FB=CE， ∴ BC=EF．

又∵ AC∥ DF，

∴∠ ACB=∠DFE．


∴在△ ABC与△ DEF中，


，
∴△ ABC≌△ DEF（AAS）．

故答案是：∠ A=∠D．


5


2
13．在实数范围内因式分解： x ﹣ 4x= x（ x +3）（x+ ）（x﹣ ） ．
【分析】先提取公因式 x，再把 4 写成 22 的形式，然后利用平方差公式继续分解

因式．

【解答】 解：原式 =x（x﹣ 2），

42=x（ x2+2）（x2﹣2）

=x（ x+2）（x+ ）（x﹣


2），
）．
故答案是： x（ x2+3）（x+ ）（ x﹣
14．黔东南下司 “蓝每谷 ”以盛产 “优质蓝莓 ”而吸引来自四面八方的游客，某果农今年的蓝莓得到了丰收， 为了了解自家蓝莓的质量， 随机从种植园中抽取适量蓝莓进行检测，发现在多次重复的抽取检测中 “优质蓝莓 ”出现的频率逐渐稳定在

0.7，该果农今年的蓝莓总产量约为 800kg，由此估计该果农今年的 “优质蓝莓 ”产

量约是

560 kg．
【考点】 X8：利用频率估计概率．

【分析】 根据题意可以估计该果农今年的 “优质蓝莓 ”产量．


第 15 页（共 27 页）



【解答】 解：由题意可得，

该果农今年的 “优质蓝莓 ”产量约是： 800×0.7=560kg，

故答案为： 560．


15．如图，已知点


A，B 分别在反比例函数 y1=﹣ 和 y2= 的图象上，若点 A 是
线段 OB 的中点，则 k 的值为 ﹣8 ．
【考点】 G6：反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】 设 A（a，b），则 B（ 2a，2b），将点 A、 B 分别代入所在的双曲线方程进行解答．

【解答】 解：设 A（ a， b），则 B（2a， 2b），



∵点 A 在反比例函数 y1=﹣ 的图象上， ∴ ab=﹣2；



∵ B 点在反比例函数 y2= 的图象上， ∴ k=2a?2b=4ab=﹣ 8． 故答案是：﹣ 8．



16．把多块大小不同的 30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第

一块三角板 AOB的一条直角边与 y 轴重合且点 A 的坐标为（ 0，1），∠ABO=30°；

第二块三角板的斜边 BB1 与第一块三角板的斜边 AB 垂直且交 y 轴于点 B1；第三

块三角板的斜边 B1B2 与第二块三角板的斜边 BB1 垂直且交 x 轴于点 B2；第四块三 角板的斜边 B2 3 与第三块三角板的斜边 B1 2 3； 按此规律
B C 垂直且交 y 轴于点 B B
继续下去，则点 B2017 的坐标为 （0，﹣ ） ．



第 16 页（共 27 页）



【考点】 D2：规律型：点的坐标．

【分析】 根据题意和图象可以发现题目中的变化规律，从而可以求得点

B2017 的
坐标．

【解答】 解：由题意可得，

OB=OA?tan60° =1× =


，
）2=3，
OB1=OB?tan60°= OB2=OB1?tan60 °=（
=（
）3 ，



∵ 2017÷ 4=506 1， ∴点 B2017 的坐标为（ 0，﹣


），
故答案为：（ 0，﹣


）．
三、解答题（本大题共 8 小题，共 86 分）

17．计算：﹣ 1 +|


﹣2﹣ |+ （π﹣3.14）﹣ tan60 °+ ．
0【考点】 2C：实数的运算； 6E：零指数幂； 6F：负整数指数幂； T5：特殊角的三 角函数值．

【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝



对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
=1 （ ） 1﹣
【解答】 解：原式 + +
=2
第 17 页（共 27 页）



18．先化简，再求值： （x﹣1﹣ 【考点】 6D：分式的化简求值．
）÷ ，其中 x= +1．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，

同时利用除法
法则变形，约分得到最简结果，把


x 的值代入计算即可求出值．
=
?
=x﹣ 1，
【解答】 解：原式 =


?
当 x= +1 时，原式 = ．


19．解不等式组


，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】 CB：解一元一次不等式组； C4：在数轴上表示不等式的解集．

【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大

小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条不等式表示出来．

【解答】 解：由①得：﹣ 2x≥﹣ 2，即 x≤1，

由②得： 4x﹣2＜5x+5，即 x＞﹣ 7，

所以﹣ 7＜x≤1．

在数轴上表示为：


20．某体育老师测量了自己任教的甲、 乙两班男生的身高， 并制作了如下不完整

的统计图表．

身高分组

频数 3 7 m 13 9
频率 0.06 0.14 0.28 n 0.18
第 18 页（共 27 页）
152≤ x＜ 155

155≤ x＜ 158

158≤ x＜ 161

161≤ x＜ 164

164≤ x＜ 167




167≤ x＜ 170

3 1
0.06 0.02
170≤ x＜ 173


根据以上统计图表完成下列问题：



（ 1）统计表中 m= 14 ，n= 0.26 ，并将频数分布直方图补充完整； （ 2）在这次测量中两班男生身高的中位数在：161≤ x＜ 164 范围内；
（ 3）在身高≥ 167cm 的 4 人中，甲、乙两班各有 2 人，现从 4 人中随机推选 2 人补充到学校国旗护卫队中， 请用列表或画树状图的方法求出这两人都来自相同

班级的概率．


【考点】 X6：列表法与树状图法； V7：频数（率）分布表； V8：频数（率）分

布直方图； W4：中位数．


【分析】（1）设总人数为 x 人，则有 =0.06，解得 x=50，再根据频率公式求出


m， n．画出直方图即可；




（ 2）根据中位数的定义即可判断； （ 3）画出树状图即可解决问题；
【解答】 解：（1）设总人数为 x 人，则有 =0.06，解得 x=50，


∴ m=50×0.28=14， n= =0.26．


故答案为 14，0.26．

频数分布直方图：


第 19 页（共 27 页）



（ 2）观察表格可知中位数在 161≤ x＜ 164 内，

故答案为 161≤ x＜164．


（ 3）将甲、乙两班的学生分别记为甲 1、甲 2、乙 1、乙 2 树状图如图所示：


所以 P（两学生来自同一所班级） = = ．


21．如图，已知直线 PT 与⊙ O 相切于点 T，直线 PO 与⊙ O 相交于 A，B 两点．




（ 1）求证： PT2=PA?PB；
（ 2）若 PT=TB= ，求图中阴影部分的面积．
第 20 页（共 27 页）



【考点】 S9：相似三角形的判定与性质； MC：切线的性质； MO：扇形面积的计

算．


【分析】（1）连接 OT，只要证明△ PTA∽△ PBT，可得 =


，由此即可解决问
题；

（ 2）首先证明△ AOT是等边三角形，根据 S 阴=S扇形 OAT﹣S△AOT计算即可；【解答】（1）证明：连接 OT．


∵ PT是⊙ O 的切线，



∴ PT⊥OT， ∴∠ PTO=90°， ∴∠ PTA+∠OTA=90°， ∵ AB是直径， ∴∠ ATB=90°，

∴∠ TAB+∠B=90°，

∵ OT=OA，

∴∠ OAT=∠OTA，

∴∠ PTA=∠B，∵∠ P=∠P，

∴△ PTA∽△ PBT，


∴

= ，
∴ PT2=PA?PB．


（ 2）∵ TP=TB= ，

第 21 页（共 27 页）



∴∠ P=∠ B=∠PTA，

∵∠ TAB=∠P+∠ PTA，

∴∠ TAB=2∠ B，

∵∠ TAB+∠B=90°，

∴∠ TAB=60°，∠ B=30°，





∴ tanB= = ， ∴ AT=1，
∵ OA=OT，∠ TAO=60°， ∴△ AOT是等边三角形，

∴ S阴=S扇形 OAT﹣S△AOT=


﹣
?12=
﹣ ．
22．如图，某校教学楼 AB 后方有一斜坡，已知斜坡 CD的长为 12 米，坡角 α为

60°，根据有关部门的规定，∠ α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡 CD进行改造，在保持坡脚 C 不动的情况下，学校至少要把坡顶 D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）

（参考数据： sin39 °≈0.63，cos39°≈0.78， tan39 °≈ 0.81， ≈1.41，

≈ 1.73，
≈ 2.24）



【考点】 T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．

【分析】 假设点 D 移到 D′的位置时，恰好∠ α=39，°过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，

作 D′E⊥′AC于点 E′，根据锐角三角函数的定义求出 DE、CE、CE′的长，进而可得出结论．

【解答】 解：假设点 D 移到 D′的位置时，恰好∠ α=39，°过点 D 作 DE⊥AC于点

E，作 D′ E⊥′AC于点 E′，

∵ CD=12米，∠ DCE=60°，


第 22 页（共 27 页）



∴ DE=CD?sin60°=12× =6


米， CE=CD?cos60°=12× =6 米．
∵ DE⊥AC，D′E⊥′AC，DD′∥CE′，∴四边形 DEE′D是′矩形，

∴ DE=D′E′=6米． ∵∠ D′CE′=39，°

∴ CE′=


≈ ≈12.8，
∴ EE′=CE﹣′CE=12.8﹣6=6.8（米）．

答：学校至少要把坡顶 D 向后水平移动 6.8 米才能保证教学楼的安全．


23．某校为了在九月份迎接高一年级的新生， 决定将学生公寓楼重新装修， 现学

校招用了甲、乙两个工程队．若两队合作，


8 天就可以完成该项工程；若由甲队
18 天才能完成．
先单独做 3 天后，剩余部分由乙队单独做需要


（ 1）求甲、乙两队工作效率分别是多少？
（ 2）甲队每天工资 3000 元，乙队每天工资 1400 元，学校要求在 12 天内将学生 公寓楼装修完成，若完成该工程甲队工作
m 天，乙队工作 n 天，求学校需支付
m 的取值范

的总工资 w（元）与甲队工作天数

m（天）的函数关系式，并求出
围及 w 的最小值．

【考点】 FH：一次函数的应用； B7：分式方程的应用．

【分析】（1）设甲队单独完成需要 x 天，乙队单独完成需要 y 天．列出分式方程组即可解决问题；


（ 2）设乙先工作 x 天，再与甲合作正好如期完成．则


+ =1，解得 x=6．由
此可得 m 的范围，因为乙队每天的费用小于甲队每天的费用，

所以让乙先工作 6
天，再与甲合作 6 天正好如期完成，此时费用最小；

【解答】 解：（1）设甲队单独完成需要 x 天，乙队单独完成需要 y 天．


第 23 页（共 27 页）



由题意


，解得 ，
经检验


是分式方程组的解，
和 ．
∴甲、乙两队工作效率分别是






（ 2）设乙先工作 x 天，再与甲合作正好如期完成． 则 +=1，解得 x=6． ∴甲工作 6 天，

∵甲 12 天完成任务，

∴ 6≤ m≤12．

∵乙队每天的费用小于甲队每天的费用，

∴让乙先工作 6 天，再与甲合作 6 天正好如期完成，此时费用最小，

∴ w 的最小值为 12×1400+6×3000=34800 元．


24．如图，⊙ M 的圆心 M（﹣ 1， 2），⊙ M 经过坐标原点 O，与 y 轴交于点 A，经过点 A 的一条直线 l 解析式为： y=﹣ x+4 与 x 轴交于点 B，以 M 为顶点的抛物线经过 x 轴上点 D（2，0）和点 C（﹣ 4，0）．



（ 1）求抛物线的解析式；
（ 2）求证：直线 l 是⊙ M 的切线；
（ 3）点 P 为抛物线上一动点，且 PE 与直线 l 垂直，垂足为 E， PF∥y 轴，交直线 l 于点 F，是否存在这样的点 P，使△ PEF的面积最小？若存在，请求出此时点


P 的坐标及△ PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．
第 24 页（共 27 页）



【考点】 HF：二次函数综合题．

【分析】（1）设抛物线的解析式为 y=a（ x﹣2）（x+4），将点 M 的坐标代入可求

得 a 的值，从而得到抛物线的解析式；

（ 2）连接 AM，过点 M 作 MG⊥AD，垂足为 G．先求得点 A 和点 B 的坐标，可求得，可得到 AG、ME、 OA、OB 的长，然后利用锐角三角函数的定义可证明∠

MAG=∠ABD，故此可证明 AM⊥ AB；

（ 3））先证明∠ FPE=∠FBD．则 PF：PE： EF= ： 2：1．则△ PEF的面积 = PF2，


设点 P 的坐标为（ x，﹣ x﹣ x+ ），则 F（x，﹣ x+4）．然后可得到 PF与 x


2的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解即可．

【解答】 解：（1）设抛物线的解析式为


y=a（x﹣2）（ x+4），将点 M 的坐标代入
得：﹣ 9a=2，解得： a=﹣ ．


∴抛物线的解析式为 y=﹣ x2﹣ x+


．
（ 2）连接 AM，过点 M 作 MG⊥AD，垂足为 G．
把 x=0 代入 y=﹣ x+4 得： y=4，


∴A（0，4）．


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将 y=0 代入得： 0=﹣ x+4，解得 x=8，
∴ B（8，0）．
∴ OA=4，OB=8．
∵ M（﹣ 1，2），A（0，4）， ∴ MG=1，AG=2．
∴ tan∠MAG=tan∠ABO= ．
∴∠ MAG=∠ ABO．
∵∠ OAB+∠ABO=90°，
∴∠ MAG+∠ OAB=90°，即∠ MAB=90°．
∴ l 是⊙ M 的切线．
（ 3）∵∠ PFE+∠FPE=90°，∠ FBD+∠PFE=90°， ∴∠ FPE=∠ FBD．
∴ tan∠ FPE= ．
∴ PF：PE： EF= ： 2： 1．
∴△ PEF的面积 = PE?EF= ×
PF? PF= PF2．

∴当 PF最小时，△ PEF的面积最小．

设点 P 的坐标为（ x，﹣ x2﹣ x+ ），则 F（x，﹣ x+4）．
∴ PF=（﹣ x+4）﹣（﹣ x2﹣ x+ ）=﹣ x+4+ x2+ x﹣ = x2﹣（ x﹣ ） 2+
．




∴当 x= 时， PF有最小值， PF的最小值为 ．

∴P（ ，
）．




∴△ PEF的面积的最小值为 = ×（
）2=
．

第 26 页（共 27 页）

















x+ =





2017年7月2日


第 27 页（共 27 页）

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