2018-2019学年山东省青岛市即墨区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共计30分）
1．若a＜b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．3a＞3b C．﹣a＜﹣b D．ac＜bc
2．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
C．AC＝DF，AB＝DE D．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF
4．在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点
5．不等式组的解在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（6，1） B．（0，1） C．（0，﹣3） D．（6，﹣3）
7．如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC＝6，那么PD等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
9．如图所示，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）相交于点P，则不等式kx+b＞ax的解集是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞2 D．x＜2
10．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1，△2，△3，△4…则△2013的直角顶点的坐标为（ ）
A．（8052，0） B．（8040，0） C．（8049，0） D．（8048，0）
二、填空题：（每题3分，共18分）
11．已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则此三角形的周长为 ．
12．已知△ABC的三边长分别是5cm，12cm，13cm，则△ABC的面积是 ．
13．如图所示，△A′B′C′是△ABC向右平移4cm得到的，已知，∠ACB＝30°，B′C＝3cm，则∠C′＝ ，B′C′＝ cm．
14．2019年4月10日﹣4月25日中国海军军演在青岛某海域进行，为了迎接盛会的到来，某中学特意举行了“迎军演，做文明中学生”知识竞赛，假设共20道题，每答对了一道题得10分，答错了或者不答扣5分，那么至少要答对 道题，其得分才会不少于95分．
15．若三条长度分别为3cm，8cm，xcm（x为正整数）的线段可以围成一个三角形，则x的值可能为 ．
16．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△MAB，则点P与点M之间的距离为 ，∠APB＝ °．
三．作图题（共4分）
17．如图，已知线段a和h．
求作：△ABC，使得AB＝AC，BC＝a，且BC边上的高AD＝h．
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
四．解答题（共68分）
18．解下列不等式（组），并把（3）（4）题的解集在数轴上表示出来；
（1）+x≥x；
（2）2（﹣3+x）＞3（x+2）；
（3）；
（4）．
19．为了迎接母亲节的到来，青岛利客来集团特开展“感恩母亲”打折促销活动，现有某种商品进价为200元，标价320元出售，商场规定打折销售后其利润率不能少于20%，请你帮助售货员计算一下，这种商品最多可以按几折销售？
20．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿AB向下翻折后，再绕点A按顺时针方向旋转α度（α＜∠BAC），得到Rt△ADE，其中斜边AE交BC于点F，直角边DE分别交AB、BC于点G、H．
（1）请根据题意用实线补全图形；
（2）求证：△AFB≌△AGE．
21．如图，在等边△ABC中，点D，E分別在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝2，求DF、EF的长．
22．某校长暑假将带领该校前级“三好学生”去北京大学游学，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余的学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内全部按票价的六折优惠”．若全票价为260元，两家旅行社的服务质量相同，根据“三好学生”的人数你认为选择哪一家旅行社才会比较合算？
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交C边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N．
（1）求△AEN的周长．
（2）求∠EAN的度数．
（3）判断△AEN的形状并证明．
24．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：同学们，我们把学习新的数学知识的时候，经常利用“化归“的数学思想方法解决问题，比如，我们在学习二元一次方程组的解法时，是通过“消元”的方法将二元方程化归成我们所熟悉的一元方程，从而正确求解．下面我们就利用“化归”的数学方法解决新的问题．首先，我们把像这样，只含有一个未知数，并且未知教的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．通过以前的学习，我们已经认识了一无一次不等式、一元一次不等式组并掌握了它们的解法．同学们，你们能类比一元一次不等式（组）的解法求出一元二次不等式的解集吗？例题：解一元二次不等式x2﹣9＞0分析：为了解决这个问题，我们需要将一元二次不等式“化归”到一元一次不等式（组），通过平方差公式的逆用，我们可以把x2﹣9＞0写成（x+3）（x﹣3）的形式，从面将x2﹣9＞0转化为（x+3）（x﹣3）＞0，然后再利用两数相乘的符号性质将一元二次不等式转化成一元一次不等式（组），从而解决问题．解：∵x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）∴x2﹣9＞0可化为（x+3）（x﹣3）＞0，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①②
，
解不等式组①，x＞3，
解不等式组②，x＜﹣3，
即一元二次不等式x2﹣9＞0的解集为x＞3或x＜﹣3
拓展应用：
（1）求一元二次不等式x2﹣16＞0的解集．
（2）求分式不等式＜0的解集．
（3）求一元二次不等式2x2﹣3x＜0的解集．
25．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，动点P的速度是2cm/s，动点Q的速度是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，连接PQ，设点P的运动时间为（G），试解答下面的问题：
（1）当t＝4时，求△PBQ的面积？
（2）当t为何值时，点B在线段PO的垂直平分线上？
（3）是否存在某一时刻t，使点Q在∠A的角平分线上，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由？
（4）请用含有t的代数式表示四边形PQCA的面积．
2018-2019学年山东省青岛市即墨区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共计30分）
1．【解答】解：A、∵a＜b，
∴a﹣1＜b﹣1，故本选项符合题意；
B、∵a＜b，
∴3a＜3b，故本选项不符合题意；
C、∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，故本选项不符合题意；
D、当c≤0时，由a＜b不能推出ac＜bc，而是ac≥bc，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．【解答】解：图（1），（2）是轴对称图形，也是中心对称图形．（3）是轴对称图形，图（4）不是中心对称图形，也不是轴对称图形．
故选：B．
3．【解答】解：A、条件AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D不符合SAS，故A错误；
B、条件∠A＝∠D，∠C＝∠F，∠B＝∠E不符合AAS或ASA，故B错误；
C、条件AC＝DF，AB＝DE不符合SAS或SSS，故C错误；
D、条件∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF符合AAS的判定方法，故D正确．
故选：D．
4．【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．
故选：C．
5．【解答】解：，
解得，
不等式组的解集是﹣1＜x≤1，
故选：D．
6．【解答】解：四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，
因此点A也先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，
由图可知，A′坐标为（0，1）．
故选：B．
7．【解答】解：过P作PE⊥OA于点E，则PD＝PE，
∵PC∥OB∴∠OPC＝∠POD，
又∵OP平分∠AOB，∠AOB＝30°，
∴∠OPC＝∠COP＝15°，
∠ECP＝∠COP+∠OPC＝30°，
在直角△ECP中，
PE＝PC＝3，
则PD＝PE＝3．
故选：B．
8．【解答】解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC＝OD；
以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP＝DP；
∴在△OCP和△ODP中
，
∴△OCP≌△ODP（SSS）．
故选：D．
9．【解答】解：由图象可知：P的坐标是（2，1），
当x＜2时，一次函数y＝kx+b的图象在y＝ax的上方，
即kx+b＞ax，
故选：D．
10．【解答】解：∵点A（﹣3，0）、B（0，4），
∴AB＝＝5，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3＝12，
∵2013÷3＝671，
∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，
∵671×12＝8052，
∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．
故选：A．
二、填空题：（每题3分，共18分）
11．【解答】解：当3是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，应舍去；
当7是腰时，则三角形的周长是3+7×2＝17．
故答案为：17．
12．【解答】解：∵△ABC的三边长分别是5cm，12cm，13cm，
∴52+122＝132，
∴△ABC是直角三角形，直角边为5cm和12cm，
∴△ABC的面积为cm×12cm＝30cm2，
故答案为：30cm2．
13．【解答】解：∵△A′B′C′是△ABC向右平移4cm得到的，
∴BB′＝CC′＝4cm，∠C′＝∠ACB＝30°，
∵B′C＝3cm，
∴B′C′＝4+3＝7cm．
故答案为：30°，7．
14．【解答】解：设答对x道，则答错或不答的题目就有（20﹣x）个．
即10x﹣5（20﹣x）≥95，
去括号：10x﹣100+5x≥95，
∴15x≥195，
∴x≥13，
则至少要答对13道．
故答案为：13．
15．【解答】解：依题意得：8﹣3＜x＜8+3，
即5＜x＜11，
∵x为正整数，
∴x的值可能为6，7，8，9，10，
故答案为：6，7，8，9，10．
16．【解答】解：连结MP，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△MAB，
∴AM＝AP，∠MAP＝∠BAC＝60°，BM＝CP＝10，
∴△AMP为等边三角形，
∴MP＝AP＝6，∠APM＝60°，
在△PBM中，PM＝6，BM＝10，PB＝8，
∵62+82＝102，
∴PM2+PB2＝BM2，
∴∠BPM＝90°，
∴∠APB＝∠APM+BPM＝60°+90°＝150°．
故答案为6，150．
三．作图题（共4分）
17．【解答】解：如图所示．△ABC就是所求的三角形．
四．解答题（共68分）
18．【解答】解：（1）去分母得，x﹣1+2x≥2x，
移项得，x+2x﹣2x≥1，
合并同类项得，x≥1；
（2）去括号得，﹣6+2x＞3x+6，
移项得，2x﹣3x＞6+6，
合并同类项得，﹣x＞12，
系数化为1得，x＜12；
（3），
由①得，x＜1，
由②得，x＞﹣3，
故此不等式组的解集为：﹣3＜x＜1
在数轴上表示为：
；
（4），
由①得，x≤1，
由②得，x＜4，
故此不等式组的解集为：x≤1
在数轴上表示为：
19．【解答】解：设这种商品可以按x折销售，
则售价为320×0.1x，那么利润为320×0.1x﹣200，
所以相应的关系式为320×0.1x﹣200≥200×20%，
解得：x≥7.5．
∴这种商品最多可以按7.5折销售．
答：这种商品最多可以按7.5折销售．
20．【解答】解：（1）画图，如图；
（2）证明：由题意得：△ABC≌△AED．
∴AB＝AE，∠ABC＝∠E．
在△AFB和△AGE中，
∴△AFB≌△AGE（ASA）．
21．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；
（2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED＝DC＝2，
∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝4，
∴EF＝DE＝2
．
22．【解答】解：设三好学生为x人，选择甲旅行社费用为y1元，乙旅行社费用为y2 元，由题意，得
y1＝260×0.5x+260，
y1＝130x+260．
y2＝0.6×260（x+1），
y2＝156x+156．
当y1＞y2时，
130x+260＞156x+156，
解得：x＜4；
当y1＝y2时，
130x+260＝156x+156，
解得：x＝4；
当y1＜y2时，
130x+260＜156x+156，
解得：x＞4．
综上所述，
当三好学生人数少于4人时，选择乙旅行社合算；等于4人时，甲、乙两家一样合算；多于4人时，选择甲旅行社合算
23．【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线交C边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，
∴BE＝AE，CN＝AN，
∵BC＝12，
∴△AEN的周长为AE+AN+EN＝BE+CN+EN＝BC＝12；
（2）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝30°，
∵BE＝AE，CN＝AN，
∴∠BAE＝∠B＝30°，∠CAN＝∠C＝30°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN＝120°﹣30°﹣30°＝60°；
（3）△AEN的形状是等边三角形，
证明：∵∠BAE＝∠B＝30°，∠CAN＝∠C＝30°，
∴∠AEN＝∠BAE+∠B＝60°，∠ANE＝∠CAN+∠C＝60°，
∵∠EAN＝60°，
∴∠AEN＝∠ANE＝∠EAN＝60°，
∴△AEN是等边三角形．
24．【解答】解：（1）（x+4）（x﹣4）＞0，
原不等式可转化为①或②
，
解不等式组①，x＞4，
解不等式组②，x＜﹣4，
即一元二次不等式x2﹣16＞0的解集为x＞4或x＜﹣4；
（2）原不等式可转化为①或②
，
解不等式组①，1＜x＜3，
解不等式组②无解
即分式不等式＜0的解集为1＜x＜3；
（3）x（2x﹣3）＜0，
原不等式可转化为①或②
，
解不等式组①，0＜x＜，
解不等式组②无解，
即一元二次不等式2x2﹣3x＜0的解集为0＜x＜．
25．【解答】解：（1）如图1中，过点P作PD⊥BC于D．
在Rt△ACB中，∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝
＝10，
∵t＝4，
∴PA＝8，BQ＝4，
∵sinB＝＝
，
∴＝
，
∴PD＝，
∴S△PQB＝•QB•PD＝
×4×
＝
．
（2）当PB＝BQ时，点B在线段PQ的垂直平分线上，
∴10﹣4t＝2t，
∴t＝，
答：当t为时，点B在线段PO的垂直平分线上．
（3）如图2中，连接AQ，过点Q作QD⊥AB于D．
∵∠C＝∠ADQ＝90°，∠AQC＝∠QAD，AQ＝AQ，
∴△AQC≌△AQD（AAS），
∴AC＝AD＝6，CQ＝QD，
∵AB＝10，
∴BD＝10﹣6＝4，设CQ＝DQ＝x，
在Rt△DQB中，则有x2+42＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴BQ＝BC﹣CQ＝8﹣5＝5，
∴t＝5时，的Q在∠CAB的角平分线上．
（4）S四边形PQCA＝S△ABC﹣S△PQB＝×6×8﹣
×t×
（10﹣4t）＝
t2﹣3t+24．
