福州大学概率论与数理统计课后习题答案高等教育出版社

福州大学概率论与数理统计课后习题答案

高等教育出版社

习题1.1解答

1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件中的样本点。

解： (正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）

(正，正)，（正，反）；（正，正），（反，反）

(正，正)，（正，反），（反，正）

2. 在掷两颗骰子的试验中，事件分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件中的样本点。

解：；；；；；

3. 以分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用表示以下事件：

（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报；

（3）只订一种报； （4）正好订两种报；

（5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报；

（7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅；

（9）三种报纸不全订阅。

解：（1）； （2）； （3）；

（4）; （5）；

（6）； （7）或

（8）； （9）

4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：, , , , ,.

解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。

5. 设事件满足，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：，，.

解：如图：

6. 若事件满足，试问是否成立？举例说明。

解：不一定成立。例如：，，，

那么，，但。

7. 对于事件，试问是否成立？举例说明。

解：不一定成立。 例如：，，，

那么，但是。

8. 设，，试就以下三种情况分别求：

（1）， （2）， （3）.

解：

（1）；

（2）；

（3）。

9. 已知，，求事件全不发生的概率。

解：

=

10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率： “三个都是红灯”=“全红”； “全绿”； “全黄”； “无红”； “无绿”； “三次颜色相同”； “颜色全不相同”； “颜色不全相同”。

解：；；；；.

11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：

（1） 取出的3件中恰有1件是次品的概率；

（2） 取出的3件中至少有1件是次品的概率。

解：

一次拿3件：

（1）； （2）；

每次拿一件，取后放回，拿3次：

（1）； （2）；

每次拿一件，取后不放回，拿3次：

（1）；

（2）

12. 从中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：

，。

解：；或

13. 从中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。

解：

14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：

（1）6人中至少有1人生日在10月份；

（2）6人中恰有4人生日在10月份；

（3）6人中恰有4人生日在同一月份；

解：

（1）； （2）；

（3）

15. 从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。

解：或

习题1.2解答

1. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。

解：

令“取到的是等品”， 。

2. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。

解：

令“两件中至少有一件不合格”， “两件都不合格”

3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求

（1） 两种报警系统I和II都有效的概率；

（2） 系统II失灵而系统I有效的概率；

（3） 在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。

解：令“系统（Ⅰ）有效” ， “系统（Ⅱ）有效”

则

（1）



（2）

（3）

4. 设，证明事件与独立的充要条件是

证：：与独立，与也独立。



：

又

而由题设

即

，故与独立。

5. 设事件与相互独立，两个事件只有发生的概率与只有发生的概率都是，求和.

解：，又与独立







即。

6. 证明 若>0， >0，则有

（1） 当与独立时，与相容；

（2） 当与不相容时，与不独立。

证明：

（1）因为与独立，所以

，与相容。

（2）因为，而，

，与不独立。

7. 已知事件相互独立，求证与也独立。

证明：因为、、相互独立，



与独立。

8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。

解：

令分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，

那么

令表示最多有一台机床需要工人照顾，

那么

9. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。

解：令“系统（Ⅰ）正常工作” “系统（Ⅱ）正常工作”

“第个元件正常工作”，

相互独立。

那么

10. 10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求

（1） 前三人中恰有一人中奖的概率；

（2） 第二人中奖的概率。

解：令“第个人中奖”，

(1)







或

（2）

11. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求：

（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；

（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。

解：

令“被检验者患有肝癌”， “用该检验法诊断被检验者患有肝癌”

那么，

（1）



（2）

12. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：

（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；

（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。

解：令“5件中有件优质品”，

（1）

（2）

13. 每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%，1件次品被误判是正品的概率是5%，试计算：

（1）抽取的1件产品为正品的概率；

（2）该箱产品通过验收的概率。

解：令“抽取一件产品为正品”

“箱中有件次品”，

“该箱产品通过验收”

（1）

（2）

14. 假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：

（1）全部能出厂的概率；

（2）其中恰有2件不能出厂的概率；

（3）其中至少有2件不能出厂的概率。

解：令“仪器需进一步调试” ； “仪器能出厂”

“仪器能直接出厂” ； “仪器经调试后能出厂”

显然，

那么



所以

令“件中恰有件仪器能出厂”，

（1）

（2）

（3）

15. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为，试求以下事件

的概率：

（1）直到第次才成功；

（2）第次成功之前恰失败次；

（3）在次中取得次成功；

（4）直到第次才取得次成功。

解：

（1）

（2）

（3）

（4）

16. 对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。

解：令“恰有次击中飞机”，

“飞机被击落”

显然：







而，，，

所以；

习题1.3解答

1. 设为随机变量，且(), 则

（1） 判断上面的式子是否为的概率分布；

（2） 若是，试求和.

解：令

（1）显然，且



所以为一概率分布。

（2）为偶数

2.设随机变量X的概率分布为(), 且，求常数.

解：，而

，即

3. 设一次试验成功的概率为，不断进行重复试验，直到首次成功为止。用随机变量表示试验的次数，求的概率分布。

解：

4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求

（1）的概率分布； （2）。

解：

（1）

（2）

5. 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？

解：因为学生靠猜测答对每道题的概率为，所以这是一个,的独立重复试验。

6. 为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发生故障的概率为0.01，各台设备工作情况相互独立。

（1）若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；

（2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？

解：

（1）（按(泊松)分布近似）

（2）（按(泊松)分布近似）



查表得

7. 设随机变量服从参数为的Poisson(泊松)分布，且，求

（1）； （2）.

解：

8. 设书籍上每页的印刷错误的个数X服从Poisson(泊松)分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。

解：，即

9. 在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求

（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；

（2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；

9. 在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数为的Poisson(泊松)分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）. 求

（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；

（2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；

解：

（1）

（2）

10. 已知的概率分布为：

试求（1）； （2）的概率分布。

解：

（1）

。

（2）

11. 设连续型随机变量的概率密度曲线如图1.3.8所示.

试求:（1）的值； （2）的概率密度； （3）.

解：

（1）



（2）

（3）

12. 设连续型随机变量的概率密度为

试确定常数并求.

解：令，即

，即

13. 乘以什么常数将使变成概率密度函数?

解：令

即

即

14. 随机变量，其概率密度函数为

()

试求；若已知，求.

解：



,

若，由正态分布的对称性

可知 .

15. 设连续型随机变量的概率密度为

以表示对的三次独立重复试验中“”出现的次数，试求概率.

解：

。

16. 设随机变量服从[1,5]上的均匀分布，试求. 如果

（1）； （2）.

解：的概率密度为

（1）

（2）

17. 设顾客排队等待服务的时间（以分计）服从的指数分布。某顾客等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要去等待服务5次，以表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求的概率分布和.

解：

习题1.4解答

1. 已知随机变量的概率分布为，，，试求的分布函数；；画出的曲线。

解： ； 曲线：

2. 设连续型随机变量的分布函数为

试求:（1）的概率分布； （2）.

解：

（1）

（2）

3. 从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的，且概率均是0.4，设为途中遇到红灯的次数，试求（1）的概率分布； （2）的分布函数。

解：

（1）

列成表格

（2）

4. 试求习题1.3中第11题的分布函数，并画出的曲线。

解：

5. 设连续型随机变量的分布函数为

试求:（1）的值； （2）； （3）概率密度函数.

解：

（1）

又

（2）

（3）

6. 设为连续型随机变量，其分布函数为

试确定中的的值。

解：

又

又

又即

7. 设随机变量的概率密度函数为，试确定的值并求和.

解：

即

8. 假设某地在任何长为(年)的时间间隔内发生地震的次数服从参数为的Poisson(泊松)分布，表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：年），试求:

（1）证明服从指数分布并求出的分布函数；

（2）今后3年内再次发生地震的概率；

（3）今后3年到5年内再次发生地震的概率。

解：

（1） 当时，



当时，



服从指数分布（）

（2）

（3）

9. 设，试计算（1）； （2）；（3）； （4）.

解：

（1）

（2）



（3）



（4）

10. 某科统考成绩近似服从正态分布，第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分？

解：

而

又



即

，，

11. 设随机变量和均服从正态分布，，，而，，试证明.

证明：



.

12. 设随机变量服从[a,b]上的均匀分布，令，试求随机变量的密度函数。

解：



当时，

当时，