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维普资讯http://www.cqvip.com２００２年５月 陕西教育学院学报 Ｍａｙ．２００２ 第ｌ８卷第２期 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈａａｎｘｉ Ｉｎｓｔｉｕｔｔｅ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｖ０１．１８ Ｎｏ．２ 一类非线性偏微分方程的解 姜根明 ，王拉省２，常安定 （１．长安大学基础部，陕西西安７１００５４；２．西北工程科技学院数理系，陕西西安７１００４８） 摘要：文中通过分析一类函数族的正交性，采用分离变量法得到了一类非线性偏微分方程的解析解 关键词：正交；分离变量法；变系数；解析解 中图分类号：Ｏ１７５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８—５９８Ｘ（２００２｝０２—００６６—０５ １问题的提出 在地下水渗流研究中，常需要求解下列数学物理方程… ＝￣（Ｔ ａ１ｌ）＋ａ＠（Ｔ ａ１ｌ）＋（Ｔ ａＨ）￣ｚ （１） 其中：Ｈ为潜水含水层的地下水水位，量纲［Ｌ］（注：以不透水底板上部作为基准面）； Ｔ＝ＫＨ为含水层的导水系数，量纲［Ｌ Ｔ－１］； Ｋ为渗透系数，量纲［ＬＴ ］； 为给水度，无量纲； 、 ｚ为笛卡尔直角坐标，量纲［Ｌ］； ｔ为时间，量纲［Ｔ］； 该方程是一个非线性偏微分方程，目前尚难精确求解，因此在实际应用时，除了用数值方法外，通常采用线性化方法近似 地将它变成一个线性偏微分方程来求解。最常见的线性化方法是：在一定的时间和空间内取导水系数Ｔ的平均值，并把它视 为常数，因而常说的Ｔ为常数，实际上便是把计算时段内的潜水含水层的厚度（此时，将水位与厚度看成一个概念）取平均值， 并在计算时段内将其看成常数。设 Ｔ ＫＨｐ ，１、 称为水位传导系数，量纲［Ｌ Ｔ一 ］；Ｈ尸为含水层平均厚度，量纲［Ｌ］；此时方程（１）变为 一ａＨ３ｔ ：ｄ（ ａ２Ｈ＋一＋塑＋磐）３ｙ２十 （３） 地下水向井孔运动呈辐射状流，使用圆柱坐标更为方便，即对方程（３）采用坐标变换： ｒ ｒｓｉｎ￣ｏｃｏｓ０ Ｙ＝ｒｓｉｎ￣ｏｓｉｎ０ （４） ： 。ｏｓ∞ 则方程（３）变为 ａＨ一ａ２Ｈ３ｔ ：ｄ（ ＋＋ 上．。 ） （５） 在下列条件下： Ｈ（ｒ，０）＝ｆ０（ｒ） （６） ０ （７） 收稿日期：２００２—０３—０７ 作者简介：姜根明（１９６３一），男，陕西渭南人，长安大学基础部讲师，主要从事偏微分方程的研究。 ６６
维普资讯http://www.cqvip.comＨ（ｒｏ，ｔ）＝ｈ０ 该模型的解为［２］： （８） Ｈ（ｒ，ｆ）＝ｈｏ＋ ７ｒ２ ２ ２（ ， ０）Ｆｌ（ ， ）８一 ≯ ０ｆｌ ［ｆｏ（ｘＲ０）一ｈｏ］Ｆｌ（ ， ）出 ．，３（ ０）一．，｝（ ） ０ （９） （１０） （１１） 当函数ｆｏ（ｒ）＝ Ｈ０，即初始水位呈水平时，此时模型的解析解为 Ｈｌ（ｒ，ｔ）：ｈ０—７ｒＳ０ Ｄ，，ｌ（ ， ）８一 ≯ 式中：Ｆｌ（Ａ ，Ｘ）＝．，０（ ）ｙｌ（ ）一．，ｌ（ ）ｙ０（ ） （ ＝１、２、…）为方程Ｆｌ（ ，Ｘ０）＝０的解ｉＸ０＝ｒｏ／Ｒｏ，Ｘ＝ｒ／Ｒｏ，卢＝口／尺３；．，０（ ）、Ｊｌ（Ｘ）、Ｙｏ（ ）、Ｙｌ（Ｘ）分别为第一类 零阶、一阶和第二类零阶、一阶贝塞尔（Ｂｅｓｓｅ１）函数． 为了提高计算精度，分析发现，公式的系统误差，是由于将方程（１）简化为方程（５）的过程中引起的，水位传导系数（２）应 该是时间的函数，而公式（９）和（１Ｏ）中将其看成常数，引起系统误差；本文以上述模型为例，借助已有的公式，讨论和研究当水 位传导系数是时间的函数时模型的解析解，以减少由于研究方法的不足所引起公式的系统误差，提高的计算精度． ２ 一个正交系 为了得到水位传导系数随时间变化时模型的解析解，应研究水位传导系数为常数时相应模型解的性质，首先给出一个正 交系；所谓正交系，是指该函数族中的任意两个函数是正交的，而函数的正交是指两个函数的内积为零；函数的正交性有多种 方式可以定义［ ，这里采用常见的两个函数的内积形式． 定义：设函数ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，称ｌ，ｚｆ（ ）ｇ（ ）出为函数ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上的内积，记为 （ｆ（ｘ），ｇ（ｘ））． 在公式（９）和（１Ｏ）中都有一个函数族 ｛Ｆｌ（Ａ ，Ｘ）＝Ｊｏ（ ）ｙｌ（ ）一．，ｌ（ ）ｙ０（ ）Ｉ Ｘ∈［Ｘ０，１］， ＝１，２，…｝ 式中： （ ＝１、２、…）为方程Ｆｌ（ ，Ｘ０）＝０的解；对于函数族（１２）有下列结论： 定理：函数族（１２）为正交族，即有公式 （１２） （Ｆｌ（Ａ ， ），ＦＩ（ａｊ， ））＝Ｉ ｌ（ ， ）Ｆｌ（ ， ）出＝妨ｌ】ＦＩ（１ｊ， ）ｌ】 且 ＩＩ ＦＩ（ ）ｌ】 ＝ ； （１３） 其中：屯为 函数，定义为：当ｉ≠Ｊ时，如＝Ｏ；当ｉ＝Ｊ时，如＝１． 证明：１．正交性的证明；由于（１１）式是两个零阶贝塞尔函数．，０（ ）和ｙ０（ ）的线性函数，从而Ｆｌ（ ，Ｘ）为方程 ＋与 ＋