高中数学解题36计（高中数学解题三十六计）

第15计 驿站开门 望蜀得陇

●计名释义

一商人要去蜀国做生意，因栈道难行，结果到了陇西. 正当他发愁之时，来了一位远客，把他的货全部买走了. 商人大喜，对伙计们说，这客人说的蜀国话，赶快回关中运货去，我们还是按原计划去南蜀.

等第二批货运到陇西时，又遇上这位客人. 一交谈，他没有把货运往南蜀，而是运往西域去了. 伙计们问商人：我们还是按原计划去南蜀吗？商人笑着说，“我们在这儿望望南蜀就行了.”接着在驿站里把生意做得火红.

数学解题有时也遇上这种情景，原来计划的解题方案，在进行中遇到了一匹黑马，中途变阵之后，成果意外. 这时你不要埋怨原来的计划是错的：不“望蜀”，怎能“得陇”？

●典例示范

【例1】 图中，BC1和DB1分别

是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1

的一条面对角线和体对角线.

试求它们的距离.

【解答】 连A1C1、C1B和BA1.

得边长为d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png的正三角形A1C1B.

易知，体对角线DB1过△A1C1B 例题图

的中心G. 易得GB=GC1.

再作BC1的中点H. 猜想

GH是DB1和BC1的公垂线，

为此只须证明HG⊥DB1.

易知GB1=227e9e6ea96659f752771b4ec095b788.png，HB1=a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.png

GH=7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png·d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png·f4ff0f9110dbfc4fb35079cd6bb5d68b.png 例题解图

因为 860715ac96a0df197d5ac8cd7f85f097.png 所以GH⊥GB1 即GH⊥DB1 .

【说明】 此处证GH⊥DB1就是我们的“望蜀”，其实DB1⊥面A1BC1，而GH是面A1BC1中的线段，当然GH⊥DB1，由此我们“得陇”.

【续解】 故HG是BG与DB1的公垂线.且长度dfa9c2943ed27b92909daa95a2b1fc29.png为它们的距离.

【点评】 这两条对角线异面.在不知（或不易作出）它们的公垂线时，属于难题.解题的方法是按“定义”，用垂直相交法作辅助线（面）.