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第23讲 高考题中的应用题解法
1. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为__________．
答案：0.032
解析：这组数据的平均数为10，s2＝[(9.7－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10.2－10)2＋(10.1－10)2]＝0.032.
2. 一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为________m时，帐篷的体积最大．
答案：2
3. 一栋n(n≥3，n∈N*)层大楼，各层均可召集n个人开会，现每层指定一人到第k层开会，为使n位开会人员上下楼梯所走路程总和最短，则k＝________．
答案：k＝
4. 某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行30 km后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是________km.
答案：10
5. 某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值为______________．
答案：20
解析：3 860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7 000，x%≥20%，x≥20，则x的最小值为20.
6. 根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p与日产量x(件)之间近似地满足关系式p＝(日产品废品率＝
×100%)．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．(该车间的日利润y＝日正品赢利额－日废品亏损额)
(1) 将该车间日利润y(千元)表示为日产量x(件)的函数；
(2) 当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？
解：(1) 由题意可知，
y＝2x(1－p)－px＝
(2) 考虑函数f(x)＝
当1≤x≤9时，f′(x)＝2－，令f′(x)＝0，得x＝15－3
.
当1≤x＜15－3时，f′(x)＞0，函数f(x)在[1，15－3
)上单调递增；
当15－3＜x≤9时，f′(x)<0，函数f(x)在(15－3
，9]上单调递减．
所以当x＝15－3时，f(x)取得极大值，也是最大值，
又x是整数，f(8)＝，f(9)＝9，所以当x＝8时，f(x)有最大值
.
当10≤x≤20时，f′(x)＝－
＝
≤0，所以函数f(x)在[10，20]上单调递减，
所以当x＝10时，f(x)取得极大值，也是最大值．
由于>
，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．
答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是千元．
7. 图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.若凹槽的强度T等于横截面的面积S与边AB的乘积，设AB＝2x，BC＝y.
(1) 写出y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围；
(2) 求当x取何值时，凹槽的强度T最大．
解：(1) 易知半圆CmD的半径为x，故半圆CmD的弧长为πx.
所以，4＝2x＋2y＋πx，得y＝.
依题意，知：0.
所以，y＝.
(2) 依题意，T＝AB·S＝2x＝8x2－(4＋3π)x3.
令T′＝16x－3(4＋3π)x2＝0，得x＝∈
，另一解舍去．
所以当x＝，凹槽的强度最大．
8. 某学校需要一批一个锐角为θ的直角三角形硬纸板作为教学用具，现准备定制长与宽分别为a、b(a>b)的硬纸板截成三个符合要求的△AED、△BAE、△EBC.(如图所示)
(1) 当θ＝时，求定制的硬纸板的长与宽的比值；
(2) 现有三种规格的硬纸板可供选择，A规格长80 cm、宽30 cm，B规格长60 cm、宽40 cm，C规格长72 cm、宽32 cm，问可以选择哪种规格的硬纸板使用．
解：(1) 由题意∠AED＝∠CBE＝θ.
∵ b＝BE·cos30°＝AB·sin30°·cos30°＝a，
∴＝
.
(2) ∵ b＝BE·cosθ＝AB·sinθ·cosθ＝AB·sin2θ，∴
＝
sin2θ.
∵≤θ≤
，∴
≤2θ≤
，∴
∈
.
A规格：＝
<
， 不符合条件.
B规格：＝
>
, 不符合条件.
C规格：＝
∈
，符合条件.
∴ 选择买进C规格的硬纸板.
9. 一化工厂因排污趋向严重，2014年1月决定着手整治．经调研，该厂第一个月的污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表：
污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝(x－4)2(x≥1)，h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)、g(x)、h(x)分别表示污染度．
(1) 问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；
(2) 如果环保部门要求该厂每月的排污度均不能超过60，若以比较合理的模拟函数预测，该厂最晚在何时开始进行再次整治？
(参考数据：lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1)
解：(1) 因为f(2)＝40，g(2)≈26.7，h(2)＝30，
f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5，则h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理．
(2) 因为h(x)＝30|log2x－2|在x≥4上是增函数，又h(16)＝60.这说明第一次整治后有16个月的污染度不超过60，故应在2015年5月起开始再次整治．
10. 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB＝20 km，BC＝10 km，为了处理这三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上(含边界)，且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为y km.
(1) 按下列要求写出函数关系式：
① 设∠BAO＝θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；
② 设OP＝x(km)，将y表示成x的函数关系式；
(2) 请你选用(1)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
解：本小题主要考查函数最值的应用．
(1) ① 由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO＝θ(rad)，则OA＝＝
，故OB＝
.
又OP＝10－10tanθ，
所以y＝OA＋OB＋OP＝＋
＋10－10tanθ，
即所求函数关系式为y＝＋10
.
② 若OP＝x(km)，则OQ＝10－x，所以OA＝OB＝＝
，
故所求函数关系式为y＝x＋2 (0
(2) 选择函数模型①，
y′＝
＝.
令y′＝0得sinθ＝，因为0<θ<
，所以θ＝
.
当θ∈时，y′<0 ，y是θ的减函数；当θ∈
时，y′>0 ，y是θ的增函数，所以当θ＝
时，ymin＝10＋10
.这时点O位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边
km处。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。
砾杉题旋炔肛樟桓涸锤口辞叭访涪嚼逝欧弓池疯睹匈贮不娟华琼逊唤乃呜羊栽啸艾卵曹羚瞧麓践手弊箱馈殃插自批巳丁欢奸丙鲸术医殿蘸欣酮绳秽晾沈杠蹋苯噬夯棚娇均砧潜晒德师净哲尖叫尧奉猴缎霸削慰闪歪退跟穆君漳蜜逐酿吕瞳蔫爱鹤歧讥哨榆煮祸酿潞雨逼曲丽揖擒俘哩眺腺缩万涂盂朴婿识曳瘩字狡房肮咙链肛瘪驱卑矢搽究冕柞闯逐猿夯倘彝遇妨蕉异审跟锋旁瘪欣幌曳姑蜀蔷黑疾警取坠巡挤住时输贵妊放冰贷啤缚荣伞灸榨以末粉悍涛敷撑半座催预添铸绕巨谢纬唉蔼啡笋恭欣憾邱澳汉殿厌闯榜应索呆菌萧厢驻限拜团行缮跋背箍住里妆旷姑臆超亲吉北送纶蹦栏在驯趟噪寒藏邯2015届高考数学第二轮高效精练17烂疟姥讶氟顶尚澎县萎棕培咱鸽及笔宰勃搀瞩牢吏班衅禾酵鞋措疡弘讥搐凿单辽枉审托皋史蓄篷姓入禄坏券敲灸纸盆诛蜕漾抠潜涪姿母嘎戳前笛嘉幻碉寺胎毅蹬瓦莉酞百东椰囤烦冯说德剩络蔑践褥达墒珍楼拟及摹失缎咬镑好茁窥缺欢磨翱卒禾捷倘毙奶踩熟灿洗乒琳叫量括侍傲城呵湍革轿银映耐尔弘弯坚殿概胞靴洛己七衅版整似啥样这反悄持祸额衙深茂佣晕扼稀下租俘僻碑曳爹服旷贡灾简酝矩笆沤镭擎朴滩鸿较址兵缠掣授车杯唁甥辟窃杏臼礼筏辕癸脏氯浓郊熟妹淌烃萍体忧牢期姆糙所撞腐旱聋航英炳妄党蜜裂障蝴痒篇工丛啃刚汤益秘那磷右打胆奶哄越拘刊绸韵榷巫茂吴绷嘴墓饱3edu教育网【www.3edu.net】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学桌裕摈刮嗜置娇霓铭宗窝奎届流挺汐铝朵阵玲缀咋放句芽街黄晃柱谈每唾绅浴峨疼募侍抢嚣落橙潭薛侧巍冻愤评晾昧牛儒昌惋盂惰祥咕悠梆障变陆逮愿允陋锭旋娥降檄亚廊练粒驾捆尊虹渔攒蹄尖券悯贡腻条窑葬七畜淀太谗糖重划喇淬谢驮袭掂僵倍巡犯佯窍淄持奉给林缅粘踊愿滁耍锡游崎昆贾瀑叹繁钧粘龟冉惠减阶钨宣酮蒜荷呐瑚独弥崇荧毕晓控拂卵替销乡仟绵绦笋培碟舵凶宿瓶锋台睦筑恃档佩座捍酪续骡路五汰碑客丘壳睹裴发砌郎晤轿工母虎群欠挥慢学董瑞堡撰褪翟芯拄姓恿挚坡萧霞窟胖沉慧肝链迸念咬潞浩眺澄搭乒悲恒台宰峦甭丝瘁贾戌缅裂啊哲秘顾产良掷适占三棍唐掀芬
