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2021年辽宁省抚顺市中考数学试题及参考答案(word解析版)-

2021年辽宁省抚顺市初中毕业生学业考试
数 学 试 题
（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各数中，比﹣1大的数是（ ） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 2．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）


A． B． C． D．
3．如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2的度数为（ ） A．100° B．120° C．130° D．150° 4．下列运算正确的是（ ） A．x5+x5＝x10 B．（x3y2）2＝x5y4 C．x6÷x2＝x3 D．x2•x3＝x5
5．某校为加强学生出行的安全意识，学校每月都要对学生进行安全知识测评，随机选取15名学生在五月份的测评成绩如表：
成绩（分） 人数（人）
90 2 91 3 95 2 96 4 97 3 99 1 则这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A．95，95 B．95，96 C．96，96 D．96，97 6．某校举行学生会成员的竞选活动，对竞选者从民主测评和演讲两个方面进行考核，两项成绩均按百分制计，规定民主测评的成绩占40%，演讲的成绩占60%，小新同学的民主测评和演讲的成绩分别为80分和90分，则他的最终成绩是（ ） A．83分 B．84分 C．85分 D．86分

7．如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（ ） A．x＝
1
B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4
8．如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，连接OC，BD．若 ∠ABD＝20°，∠AED＝80°，则∠COB的度数为（ ） A．80° B．100° C．120° D．140°

9．自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是（ ） A． B．
C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD的中点，射线AE与BC的延长线相交于点F，点M从A出发，沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止．过点M作MN⊥AF于点N．设AN的长为x，△AMN的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（ ）


A． B． C． D．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下98990000农村贫困人口全部脱贫，将数据98990000用科学记数法表示为 ． 12．27的立方根为 ．
13．在平面直角坐标系中，点M（﹣2，4）关于原点对称的点的坐标是 ．
14．在一个不透明袋子中，装有3个红球，5个白球和一些黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一个球是白球的概率为
15．如图，△ABC中，∠B＝30°，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点D，分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径画弧两，，则袋中黄球的个数为 ．
弧相交于点E，作射线CE，交AB于点F，FH⊥AC于点H．若FH＝则BF的长为 ．

16．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，连接BO．若AB＝4，CF＝5，则OB的长为 ．

2



17．如图，△AOB中，AO＝AB，OB在x轴上C，D分别为AB，OB的中点，连接CD，E为CD上任意一点，连接AE，OE，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A．若△AOE的面积为2，则k的值是 ．

18．如图，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝60°，AC＝2cm，DC＝1cm．则下列四个结论：①△ACD∽△BCE；②AD⊥BE；③∠CBE+∠DAE＝45°；④在△CDE绕点C旋转过程中，△ABD面积的最大值为（2+2）cm2.其中正确的是 .（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分） 19．（10分）先化简，再求值：，其中m＝．
20．（12分）某校以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从“科普”、“绘画”、“诗歌”、“散文”四类书籍中选择最喜欢的一类，学校的调查结果如图：

图中信息解答下列问题
（1）本次被调查的学生有 人；
（2）根据统计图中“散文”类所对应的圆心角的度数为 ，请补充条形统计图． （3）最喜爱“科普”类的4名学生中有1名女生，3名男生，现从4名学生中随机抽取两人参加学校举办的科普知识宣传活动，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好都是男生的概率． 四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）某市公交公司为落实“绿色出行，低碳环保”的城市发展理念，计划购买A，B两种型号的新型公交车，已知购买1辆A型公交车和2辆B型公交车需要165万元，2辆A型公交车和3

3辆B型公交车需要270万元．
（1）求A型公交车和B型公交车每辆各多少万元？
（2）公交公司计划购买A型公交车和B型公交车共140辆，且购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，那么该公司最多购买多少辆A型公交车？ 22．（12分）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．
（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号） （2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732）
五、解答题（满分12分）
23．（12分）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个}与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销量为240个．
（1）求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设遮阳伞每填的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售润最大？最大利润是多少元？ 六、解答题（满分12分）
24．（12分）如图，在⊙O中，∠AOB＝120°，＝，连接AC，BC，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，DA与BO的延长线相交于点E，DO与AC相交于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求线段DF的长．

七、解答题（满分12分）
25．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E在直线BC上（点E不与点B，C重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF． （1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系；
（2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由； （3）若AC＝5，BC＝3，EC＝1，请直接写出线段AF的长．
4


八、解答题（满分14分）
26．（14分）直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，与x轴的另一个交点为C． （1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E，DF⊥AB于点F，FG⊥x轴于点G．当DE＝FG时，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，过H作HK∥y轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．


5

答案与解析

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各数中，比﹣1大的数是（ ） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0 【知识考点】有理数大小比较．
【思路分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【解答过程】解：∵﹣3＜﹣1，﹣2＜﹣1，﹣1＝﹣1，0＞﹣1， ∴所给的各数中，比﹣1大的数是0． 故选：D．
【总结归纳】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 2．如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）


A． B． C． D．
【知识考点】简单组合体的三视图．
【思路分析】左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．
【解答过程】解：从左边看，有两列，从左到右第一列是两个正方形，第二列底层是一个正方形． 故选：A．
【总结归纳】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义．
3．如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2的度数为（ ） A．100° B．120° C．130° D．150° 【知识考点】平行线的性质．
【思路分析】根据“直线a∥b，∠1＝50°”得到∠3的度数，再根据∠2+∠3＝180°即可得到∠2的度数． 【解答过程】解：∵a∥b，∠1＝50°， ∴∠3＝∠1＝50°， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝130°， 故选：C．
6


【总结归纳】本题考查平行线的性质，解题的关键是能够利用平行线的性质求得∠3的度数． 4．下列运算正确的是（ ） A．x5+x5＝x10 B．（x3y2）2＝x5y4 C．x6÷x2＝x3 D．x2•x3＝x5
【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法． 【思路分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法法则进行计算，从而作出判断．
【解答过程】解：A、x5+x5＝2x5，故此选项不符合题意； B、（x3y2）2＝x6y4，故此选项不符合题意； C、x6÷x2＝x4，故此选项不符合题意； D、x2•x3＝x5，正确，故此选项符合题意； 故选：D．
【总结归纳】本题考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法运算，掌握运算法则是解题关键．
5．某校为加强学生出行的安全意识，学校每月都要对学生进行安全知识测评，随机选取15名学生在五月份的测评成绩如表：
成绩（分） 人数（人）
90 2 91 3 95 2 96 4 97 3 99 1 则这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A．95，95 B．95，96 C．96，96 D．96，97 【知识考点】中位数；众数．
【思路分析】根据中位数、众数的意义分别求出中位数、众数即可．
【解答过程】解：将这15名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的一个数，即第8个数是96，因此中位数是96，
这15名学生成绩出现次数最多的是96，共出现4次，因此众数是96， 故选：C．
【总结归纳】本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义是解决问题的前提，掌握众数、中位数的计算方法是解决问题的关键．
6．某校举行学生会成员的竞选活动，对竞选者从民主测评和演讲两个方面进行考核，两项成绩均按百分制计，规定民主测评的成绩占40%，演讲的成绩占60%，小新同学的民主测评和演讲的成绩7

分别为80分和90分，则他的最终成绩是（ ） A．83分 B．84分 C．85分 D．86分 【知识考点】加权平均数．
【思路分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答过程】解：他的最终成绩为80×40%+90×60%＝86（分）， 故选：D．
【总结归纳】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 7．如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（ ） A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4 【知识考点】一次函数与一元一次方程．
【思路分析】首先利用函数解析式y＝2x求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程kx+b＝2的解可得答案．
【解答过程】解：∵线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2）， ∴2＝2m， ∴m＝1， ∴P（1，2），
∴当x＝1时，y＝kx+b＝2，
∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1， 故选：B．
【总结归纳】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标． 8．如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，连接OC，BD．若∠ABD＝20°，∠AED＝80°，则∠COB的度数为（ ） A．80° B．100° C．120° D．140° 【知识考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【思路分析】根据三角形的外角性质求出∠D，根据圆周角定理得出∠D＝COB，求出∠COB＝2∠D，再代入求出答案即可．
【解答过程】解：∵∠ABD＝20°，∠AED＝80°， ∴∠D＝∠AED﹣∠ABD＝80°﹣20°＝60°， ∴∠COB＝2∠D＝120°， 故选：C．
【总结归纳】本题考查了三角形外角性质，圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理等知识点，能熟记一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解此题的关键．
9．自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单8

价多15元．设甲种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是（ ） A． B．
C． D．
【知识考点】由实际问题抽象出分式方程．
【思路分析】设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为（x﹣15）元，利用数量＝总价÷单价，结合用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答过程】解：设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为（x﹣15）元， 依题意得：故选：A．
【总结归纳】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD的中点，射线AE与BC的延长线相交于点F，点M从A出发，沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止．过点M作MN⊥AF于点N．设AN的长为x，△AMN的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
＝．


A． B． C． D．
【知识考点】动点问题的函数图象．
【思路分析】先证明△ADE≌△FCE得到，BF＝8，由勾股定理求出AF＝10．当点M在AB上时，根据三角函数求出NM＝从而得到△AMN的面积S＝，
＝；当点M在BF上时，先利用三角函数求出MN，再求出此时S关于x的函数关系式，即可得到答案． 【解答过程】解：如图，∵E是CD的中点， ∴CE＝DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠DCF＝90°，AD＝BC＝4， 在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（SAS），
9

∴CF＝AD＝4， ∴BF＝CF+BC＝8， ∴AF＝，
当点M在AB上时， 在Rt△AMN和Rt△AFB中， tan∠NAM＝∴NM＝，
＝，
，
∴△AMN的面积S＝∴当点M在AB上时，函数图象是开口向上、经过原点的抛物线的一部分； 当点M在BF上时，如图， AN＝x，NF＝10﹣x， 在Rt△FMN和Rt△FBA中， tan∠F＝∴，
＝﹣，

∴△AMN的面积S＝＝﹣，
∴当点M在BF上时，函数图象是开口向下的抛物线的一部分； 故选：B．

【总结归纳】本题考查了动点问题的函数图象，是中考常考题型，解题的关键是求出对应的函数关系式．
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下98990000农村贫困人口全部脱贫，将数据98990000用科学记数法表示为 ． 【知识考点】科学记数法—表示较大的数．
【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
10

【解答过程】解：98990000＝9.899×107， 故答案为：9.899×107．
【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12．27的立方根为 ． 【知识考点】立方根．
【思路分析】找到立方等于27的数即可． 【解答过程】解：∵33＝27， ∴27的立方根是3， 故答案为：3．
【总结归纳】考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算． 13．在平面直角坐标系中，点M（﹣2，4）关于原点对称的点的坐标是 ． 【知识考点】关于原点对称的点的坐标．
【思路分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【解答过程】解：点（﹣2，4）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣4）． 故答案为：（2，﹣4）．
【总结归纳】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
14．在一个不透明袋子中，装有3个红球，5个白球和一些黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一个球是白球的概率为【知识考点】概率公式．
【思路分析】设有黄球x个，根据概率公式得：【解答过程】解：设有黄球x个， 根据题意得：解得：x＝7，
经检验x＝7是原方程的解， 故答案为：7．
【总结归纳】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 15．如图，△ABC中，∠B＝30°，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点D，分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径画弧两＝，
＝，解得x的值即可．
，则袋中黄球的个数为 ．
弧相交于点E，作射线CE，交AB于点F，FH⊥AC于点H．若FH＝，则BF的长为 ． 【知识考点】作图—基本作图．
【思路分析】过F作FG⊥BC于G，由作图知，CF是∠ACB的角平分线，根据角平分线的性质得到FG＝FH＝
，根据直角三角形的性质即可得到结论．
11
【解答过程】解：过F作FG⊥BC于G， 由作图知，CF是∠ACB的角平分线， ∵FH⊥AC于点H．FH＝∴FG＝FH＝，
，
∵∠FGB＝90°，∠B＝30°． ∴BF＝2FG＝2故答案为：2， ．
【总结归纳】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，含30°角直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，连接BO．若AB＝4，CF＝5，则OB的长为 ．
【知识考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）． 【思路分析】连接AF，过O作OH⊥BC于H，由将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，可得AF＝CF＝5，BF＝＝3，BC＝BF+CF＝8，根据折叠可知OH是△ABC的中位线，故BH＝2，在Rt△BOH中，用勾股定理即得OB＝2．
BC＝4，OH＝AB＝【解答过程】解：连接AF，过O作OH⊥BC于H，如图： ∵将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O， ∴AF＝CF＝5， 在Rt△ABF中，BF＝∴BC＝BF+CF＝8，
∵OA＝OC，OH⊥BC，AB⊥BC， ∴O为AC中点，OH∥AB， ∴OH是△ABC的中位线， ∴BH＝CH＝BC＝4，OH＝AB＝2，
＝＝2，
＝＝3，
在Rt△BOH中，OB＝故答案为：2．
【总结归纳】本题考查矩形性质及应用，涉及对称变换、勾股定理、三角形中位线等知识，解题的关键是证明OH是是△ABC的中位线．
17．如图，△AOB中，AO＝AB，OB在x轴上C，D分别为AB，OB的中点，连接CD，E为CD上任意一点，连接AE，OE，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A．若△AOE的面积为2，12

则k的值是 ．

【知识考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质；三角形中位线定理．
【思路分析】根据等腰△AOB，中位线CD得出AD⊥OB，S△AOE＝S△AOD＝2，应用|k|的几何意义求k．
【解答过程】解：如图：连接AD，
△AOB中，AO＝AB，OB在x轴上，C、D分别为AB，OB的中点，
∴AD⊥OB，AO∥CD， ∴S△AOE＝S△AOD＝2， ∴k＝4． 故答案为：4．
【总结归纳】本题考查了反比例函数图象、等腰三角形以及中位线的性质、三角形面积，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质．
18．如图，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠EDC＝60°，AC＝2cm，DC＝1cm．则下列四个结论：①△ACD∽△BCE；②AD⊥BE；③∠CBE+∠DAE＝45°；④在△CDE绕点C旋转过程中，△ABD面积的最大值为（2+2）cm2.其中正确的是 .（填写所有正确结论的序号）
【知识考点】含30度角的直角三角形；旋转的性质；相似三角形的判定与性质．
【思路分析】先证明△ACD∽△BCE，再用对应角∠EBC＝∠DAC，即可判断①②③，再由D到直线AB的最大距离为CH+CD＝（＝（2+2）cm2，故可判断④．
+1）cm，即可求得△ABD面积的最大值为【解答过程】解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE， ∴∠BCE＝∠ACD，
∵∠BAC＝∠EDC＝60°，AC＝2cm，DC＝1cm，
13

∴tan∠BAC＝∴BC＝2∴＝＝，tan∠BAC＝cm，
＝，
cm，CE＝＝2，
∴△ACD∽△BCE，故①正确； ∵△ACD∽△BCE， ∴∠EBC＝∠DAC，
如图，记BE与AD、AC分别交于F、G， ∵∠AGF＝∠BGC， ∴∠BCG＝∠BFA＝90°， ∴AD⊥BE，故②正确； ∵∠EBC＝∠DAC，
∴∠CBE+∠DAE＝∠DAC+∠DAE＝∠CAE不一定等于45°，故③错误； 如图，过点C作CH⊥AB于H， ∵∠ABC＝30°， ∴CH＝BC＝cm，
+1）cm， ＝（2+2）∴D到直线AB的最大距离为CH+CD＝（∴△ABD面积的最大值为cm2，故④正确． 故答案为：①②④．
【总结归纳】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质，证明出△ACD∽△BCE是本题的关键．
三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分） 19．（10分）先化简，再求值：【知识考点】分式的化简求值；负整数指数幂．
【思路分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入化简后的式子即可解答本题． 【解答过程】解：＝＝＝＝，
14
，其中m＝．

•



当m＝＝4时，原式＝＝．
【总结归纳】本题考查分式的化简求值、负整数指数幂，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．（12分）某校以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从“科普”、“绘画”、“诗歌”、“散文”四类书籍中选择最喜欢的一类，学校的调查结果如图：

图中信息解答下列问题
（1）本次被调查的学生有 人；
（2）根据统计图中“散文”类所对应的圆心角的度数为 ，请补充条形统计图． （3）最喜爱“科普”类的4名学生中有1名女生，3名男生，现从4名学生中随机抽取两人参加学校举办的科普知识宣传活动，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好都是男生的概率． 【知识考点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．
【思路分析】（1）用最喜欢“诗歌”类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）用360°乘以“散文”类的人数所占的百分比得到“散文”类所对应的圆心角的度数，然后计算最喜欢“绘画”类的人数后补全条形统计图；
（3）通过树状图展示所有12种等可能的结果，找出所选的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答过程】解：（1）20÷40%＝50（人）， 所以本次被调查的学生有50人； 故答案为50；
（2）“散文”类所对应的圆心角的度数为360°×＝72°；
最喜欢“绘画”类的人数为50﹣4﹣20﹣10＝16（人）， 条形统计图补充为：
15


故答案为72°； （3）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中所选的两人恰好都是男生的结果数为6，
所以所选的两人恰好都是男生的概率＝＝．
【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法：通过列表或画树状图展示使用等可能的结果，再找出某事件的结果数，然后根据概率公式求此事件的概率．当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．也考查了统计图． 四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．（12分）某市公交公司为落实“绿色出行，低碳环保”的城市发展理念，计划购买A，B两种型号的新型公交车，已知购买1辆A型公交车和2辆B型公交车需要165万元，2辆A型公交车和3辆B型公交车需要270万元．
（1）求A型公交车和B型公交车每辆各多少万元？
（2）公交公司计划购买A型公交车和B型公交车共140辆，且购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，那么该公司最多购买多少辆A型公交车？ 【知识考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【思路分析】（1）设A型公交车每辆x万元，B型公交车每辆y万元，由题意：购买1辆A型公交车和2辆B型公交车需要165万元，2辆A型公交车和3辆B型公交车需要270万元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该公司购买m辆A型公交车，则购买（140﹣m）辆B型公交车，由题意：购买A型公交车的总费用不高于B型公交车的总费用，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答过程】解：（1）设A型公交车每辆x万元，B型公交车每辆y万元，
由题意得：，
16

解得：，
答：A型公交车每辆45万元，B型公交车每辆60万元；
（2）设该公司购买m辆A型公交车，则购买（140﹣m）辆B型公交车， 由题意得：45m≤60（140﹣m）， 解得：m≤80，
答：该公司最多购买80辆A型公交车．
【总结归纳】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．（12分）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．
（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）
（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：1.732）
≈1.414，≈
【知识考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【思路分析】（1）通过作辅助线，构造直角三角形，在Rt△ACD中，可求出CD、AD，根据外角的性质可求出∠B的度数，在Rt△BCD中求出BC即可； （2）计算AC+BC和AB的长，计算可得答案． 【解答过程】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D， 由题意得，∠A＝30°，∠BCE＝75°，AC＝600m， 在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝600， ∴CD＝AD＝AC＝300（m）， AC＝300（m），
17

∵∠BCE＝75°＝∠A+∠B， ∴∠B＝75°﹣∠A＝45°， ∴CD＝BD＝300（m）， BC＝CD＝300（m），
m；
答：景点B和C处之间的距离为300（2）由题意得． AC+BC＝600+300AB＝AD+BD＝300≈1024（m），
+300≈820（m），
1024﹣820＝204（m），
答：大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约204m．

【总结归纳】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． 五、解答满分12分
23．（12分）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个}与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销量为240个．
（1）求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设遮阳伞每填的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售润最大？最大利润是多少元？
【知识考点】二次函数的应用．
【思路分析】（1）设函数关系式为y＝kx+b，由当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销量为240个．可列方程组，即可求解；
（2）由每天销售利润＝每个遮阳伞的利润×销售量，列出函数关系式，由二次函数的性质可求解．
【解答过程】解：（1）设函数关系式为y＝kx+b，
由题意可得：，
18

解得：，
∴函数关系式为y＝﹣10x+540；
（2）由题意可得：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+540）＝﹣10（x﹣37）2+2890， ∵﹣10＜0，
∴当x＝37时，w有最大值为2890，
答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售润最大，最大利润是2890元．
【总结归纳】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，待定系数法求解析式，求出函数关系式是解题的关键． 六、解答题（满分12分）
24．（12分）如图，在⊙O中，∠AOB＝120°，＝，连接AC，BC，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，DA与BO的延长线相交于点E，DO与AC相交于点F． （1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求线段DF的长．

【知识考点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质． 【思路分析】（1）由＝，可得AC＝BC，进而可证出△OAC≌△OBC，从而得出四边形OACB是菱形，由OA∥BD，AD⊥BD，可得出OA⊥DE，得出DE是切线；
（2）根据特殊锐角的三角函数值，可求出CD、AD，进而在Rt△AOD中，由勾股定理求出OD，再根据△CFD∽△AFO，可得＝＝，进而得到DF＝OD即可．
【解答过程】解：（1）如图，连接OC，
∵＝，
∴AC＝BC，
又∵OA＝OB，OC＝OC， ∴△OAC≌△OBC（SSS）， ∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，
19

∴△AOC、△BOC是等边三角形， ∴OA＝AC＝CB＝OB， ∴四边形OACB是菱形， ∴OA∥BD， 又∵AD⊥BD， ∴OA⊥DE， ∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）得AC＝OA＝2，∠OAC＝60°，∠DAC＝90°﹣60°＝30°， 在Rt△ACD中，∠DAC＝30°，AC＝2， ∴DC＝AC＝1，AD＝AC＝，
在Rt△AOD中，由勾股定理得， OD＝∵OA∥BD， ∴△CFD∽△AFO， ∴又∵∴∴＝，
，AC＝OA＝2，
＝＝，
＝sin30°＝＝＝， ， OD＝即DF＝．

【总结归纳】本题考查切线的判定和性质，证出OA⊥DE，是判断DE是圆的切线的关键． 七、解答题（满分12分）
25．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，点E在直线BC上（点E不与点B，C重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF． （1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系；
20

（2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由； （3）若AC＝5，BC＝3，EC＝1，请直接写出线段AF的长．

【知识考点】三角形综合题．
【思路分析】（1）结论：EF＝BE．利用线段的垂直平分线的性质证明即可．
（2）结论：AF2+BE2＝EF2如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ．证明△AJD≌△BED（AAS），推出AJ＝BE，DJ＝DE，再证明FJ＝EF，可得结论．
（3）分两种情形：如图3﹣1中，当点E在线段BC上时，如图3﹣2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF＝x，则CF＝5﹣x．构建方程求解即可． 【解答过程】解：（1）结论：EF＝BE． 理由：如图1中，

∵AD＝DB，DE⊥AB， ∴EF＝EB．

（2）结论：AF2+BE2＝EF2．
理由：如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ．

∵AJ⊥AC，EC⊥AC， ∴AJ∥BE，
21

∴∠AJD＝∠DEB， 在△AJD和△BED中，
，
∵△AJD≌△BED（AAS）， ∴AJ＝BE，DJ＝DE， ∵DF⊥EJ， ∴FJ＝EF， ∵∠FAJ＝90°， ∴AF2+AJ2＝FJ2， ∴AF2+BE2＝EF2．

（3）如图3﹣1中，当点E在线段BC上时，设AF＝x，则CF＝5﹣x．

∵BC＝3，CE＝1， ∴BE＝2，
∵EF2＝AF2+BE＝CF2+CE2， ∴x2+22＝（5﹣x）2+12， ∴x＝∴AF＝， ．
如图3﹣2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF＝x，则CF＝5﹣x．

∵BC＝3，CE＝1， ∴BE＝4，
∵EF2＝AF2+BE＝CF2+CE2，
22

∴x2+42＝（5﹣x）2+12， ∴x＝1， ∴AF＝1，
综上所述，满足条件的AF的长为或1．
【总结归纳】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 八、解答题（满分14分）
26．（14分）直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B，与x轴的另一个交点为C． （1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E，DF⊥AB于点F，FG⊥x轴于点G．当DE＝FG时，求点D的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，过H作HK∥y轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点P的坐标．

【知识考点】二次函数综合题．
【思路分析】（1）令x＝0，求点B（0，3），令y＝0，求点A（3，0），将点A、点B代入抛物线y＝ax2+2x+c即可求解；
（2）设D（m，﹣m2+2m+3），由DE∥y轴交AB于点E，则E（m，﹣m+3），再由OA＝OB，可知∠OAB＝45°，则有AG＝FG＝DE＝AG，连接GE，延长DE交x轴于点T，可证四边形FGED是平行四边形，△AEG为等腰直角三角形，可求AT＝ET＝GT＝3﹣m，AG＝FG＝6﹣2m，OG＝2m﹣3，求出FG＝﹣2m+6，DT＝﹣3m+9，得到﹣m2+2m+3＝﹣3m+9，即可求D（2，3）； （3）先求出C（﹣1，0），直线CD的解析式为y＝x+1，联立x+1＝﹣x+3，求出M（1，2），分两种情况讨论：①当MH⊥MK时，H点在AB上，K点在CD上，可确定H（3，0）或H（0，3），当H（3，0）时，K（3，4），P（5，2）；当H（0，3）时，K（0，1），P（﹣1，2）；②当MH⊥HK时，此时MH⊥y轴，H（1+）；当H（1﹣，2）或H（1﹣）．
23
，2），当H（1+，2）时，P（1，2+，2）时，P（1，2﹣
【解答过程】解：（1）令x＝0，则y＝3， ∴B（0，3）， 令y＝0，则x＝3， ∴A（3，0），
∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A，B， ∴∴，
，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）设D（m，﹣m2+2m+3）， ∵DE∥y轴交AB于点E， ∴E（m，﹣m+3）， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝45°， ∴AG＝FG， ∵DE＝FG， ∴DE＝AG，
连接GE，延长DE交x轴于点T， ∴四边形FGED是平行四边形， ∵DF⊥AB， ∴EG⊥AB，
∴△AEG为等腰直角三角形， ∴AT＝ET＝GT＝3﹣m， ∴AG＝FG＝6﹣2m，
∴OG＝3﹣（6﹣2m）＝2m﹣3， ∴F点横坐标为2m﹣3， ∴FG＝﹣2m+6，
∴DT＝﹣2m+6+3﹣m＝﹣3m+9， ∴﹣m2+2m+3＝﹣3m+9， 解得m＝2或m＝3（舍）， ∴D（2，3）；
（3）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0， 解得x＝3或x＝﹣1， ∴C（﹣1，0），
设CD的解析式为y＝kx+b，将C（﹣1，0）、D（2，3）代入，
∴，
24

∴，
∴y＝x+1， ∴∠ACM＝45°， ∴CM⊥AM， 联立x+1＝﹣x+3， 解得x＝1， ∴M（1，2），
∵以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形， ①当MH⊥MK时，H点在AB上，K点在CD上， ∵H点在抛物线上， ∴H（3，0）或H（0，3）， 当H（3，0）时，MH＝2∴KH＝4， ∴K（3，4）
∴HK的中点为（3，2），则MP的中点也为（3，2）， ∴P（5，2）；
当H（0，3）时，MH＝∴KH＝2， ∴K（0，1），
∴HK的中点为（0，2），则MP的中点也为（0，2）， ∴P（﹣1，2）；
②当MH⊥HK时，此时MH⊥y轴， ∴H（1+当H（1+∴P（1，2+当H（1﹣∴P（1，2﹣，2）或H（1﹣，2）时，MH＝）；
，2）时，MH＝）；
， ，2）， ， ， ，
综上所述：当以点M，H，K，P为顶点的四边形是正方形时，P点坐标为（5，2）或（﹣1，2）或（1，2+）或（1，2﹣）．

25

【总结归纳】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质、一次函数的图象及性质、正方形的性质是解题的关键．

26

《2021年辽宁省抚顺市中考数学试题及参考答案(word解析版)-.doc》
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