2015届高三5月份仿真模拟考试试卷
数学（文科）
时量：120分钟 分值：150分
命卷：长沙县一中 审校：宁乡一中
考生注意：1.本考试分为试题卷和答题卡两部分。
2.考生务必将答案写在答题卡上，写在试题卷上一律无效；
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡中对应位置.
1.已知
是虚数单位，则
（ ）
A． B．
C．
D．
2.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用2
2列联表进行独立性检验，经计算K2=7．069，则所得到的统计学结论为：有多大把握认为“学生性别与支持该活动有关系” （ ）
A. 0．1％ B. 1％ C. 99％ D. 99．9％
3. 若则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．
D．
4. 已知,
的图像与
的图像的两相邻交点间的距离为
，要得到
的图像，只须把
的图像（ ）
A. 向右平移
个单位 B. 向右平移
个单位
C. 向左平移个单位 D. 向左平移
个单位
5.一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
6.已知命题：对任意
，总有
；命题
：
是
的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C．
D．
7.右图给出了一个程序框图，其作用是输入
的值，输出相应
的
值，若要使输入的
值与输出的
值相等，则这样的
值有（ ）
A． 1个[来 B．2个 C．3个 D．4个
8. 已知向量，
，若
，则 满足
的概率为（ ）
A． B．
C．
D．
9.是双曲线
右支上一点，
分别是左、右焦点，且焦距为
，则
的内切圆圆心的横坐标为（ ）
A． B．
C．
D．
10.设与
是定义在同一区间
上的两个函数，若函数
在
上有两个不同的零点，则称
和
在
上是“关联函数”，区间
称为“关联区间” .若
与
在
上是“关联函数”，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C．
D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
11.已知集合，那么
.
12.在极坐标系中，直线被曲线
所截得的线段长为 .
13.若实数满足
，则
的取值范围为 .
14.如图，平面内有三个向量
、
、
，其中
与
夹角为
，
与
的夹角为
，且
，
,若
，则
的值为 .
15.在一个数列中，如果对任意,都有
为常数
，那么这个数列叫做等积数列，
叫做这个数列的公积.已知数列
是等积数列，且
，公积为
，记
的前
项和为
，则：
（1） .
（2） .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知且
.设函数
（1）求函数的解析式；
（2）若在锐角中，
，边
，求
周长的最大值.
17．（本小题满分12分）
已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组．现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样.
（1）若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？据此写出所有被抽出学生的号码；
（2）分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的茎叶图如图所示，从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生， 求被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率．
18. （本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，
侧面
，已知
,
,
,
.
（1）求证：平面
；
（2）当点为棱
的中点时，求
与平面
所成的角的正弦值.
19. （本小题满分13分）
某学校实验室有浓度为和
的两种
溶液.在使用之前需要重新配制溶液，具体操作方法为取浓度为
和
的两种
溶液各
分别装入两个容积都为
的锥形瓶
中，先从瓶
中取出
溶液放入
瓶中，充分混合后，再从
瓶中取出
溶液放入
瓶中，再充分混合.以上两次混合过程完成后算完成一次操作.设在完成第
次操作后，
瓶中溶液浓度为
，
瓶中溶液浓度为
.
（1）请计算，并判定数列
是否为等比数列？若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；
（2）若要使得两个瓶中的溶液浓度之差小于
，则至少要经过几次？
20. （本小题满分13分）
如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为、
，右焦点为
，且
,
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点
作直线
、
，直线
与椭圆分别交于点
、
，直线
与椭圆分别交于点
、
，且
，求四边形
的面积
的最小值.
21. （本小题满分13分）
已知函数在
处取得极值
.
（1）求的解析式；
（2）设是曲线
上除原点
外的任意一点，过
的中点且垂直于
轴的直线交曲线于点
，试问：是否存在这样的点
，使得曲线在点
处的切线与
平行？若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设函数，若对于任意
，总存在
，使得
，求实数
的取值范围.
长浏宁三（市）县一中2015年高三五月三模考试参考答案
文科数学
一、 选择题（本大题共10个小题，共50分）
二、填空题（本大题共5个小题，共25分）
11.{1，-1} 12. 13.
14. 6 15. 2 ; 4700
三、解析题（本题共6小题，共75分）
16.（本小题12分）
【解析】
（1）因为，所以
，所以
. ……4分
（2）因为，所以
，
因为，所以
. ………………………………………………………6分
又，由正弦定理知，
，得
，所以
，
，
所以得周长为
=
. ………………10分
因为，所以
，则
，
所以，
所以周长的最大值为
…………………………………………………12分
17. （本小题12分）
【解析】
（1）由题意，得抽出号码为22的组数为3. …………………………………3分
因为2＋10×(3－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为02，抽出的10名学生的号码依次分别为：02，12，22，32，42，52，62，72，82，92. ………………………6分
（2）从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，共有如下10种不同的取法：
（73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）. ……………………………………………………9分
其中成绩之和不小于154分的有如下7种：（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）. ………………………………………………11分
故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率为：…………………………………………………………………………………12分
18.（本小题12分）
【解析】
（1）因为侧面
，故
.在
中，
由余弦定理有：
故有，所以
.而
且
平面
，
所以平面
. ………………………………………………………6分
（2）因为点为棱
的中点，
所以，
则,又
且
设点到平面
的 距离为
，则由等体积法得：
即
又,设
与平面
所成的角为
，
则，
故所求的与平面
所成的角的正弦值为
………………………………12分
19.（本小题13分）
【解析】
（1）…………………………………3分
20.（本小题13分）
【解析】
（1）设椭圆的方程为，则由题意知
，又因为
，
即，所以
.
所以，故椭圆的方程为
. ………………………………4分
（2）设
则由题意：
即： =
整理得：
即，所以
……………………………7分
1 若直线中有一条斜率不存在.不妨设
的斜率不存在，则可得
轴，
所以，
故四边形的面积
.
② 若直线的斜率存在，设直线
的方程为：
，
则 由得：
.
设，则
.
同理可求得，
，故四边形
的面积：
综上，四边形的面积
的最小值为
…………………………………13分
21.（本小题13分）
【解析】
（1）因为，所以
.
又在
处取得极值2，所以
，即
解得
，
经检验满足题意，所以 ……………………………………………3分
（2）由（1）得，假设存在满足条件的点
，且
，
则，又
.
则由，得
，所以
，因为
，
所以，得
.
故存在满足条件的点A，此时的点A的坐标为. ……7分
（3）解法一：，令
，得
.
当变化时，
的变化情况如下表：
所以在
处取得极小值
，在
处取得极大值
，又
时，
，所以
的最小值为
，因为对于任意的
，总存在
使得
，所以当
时，
最小值不大于-2，又
.所以当
时，
的最小值为
，由
，得
；当
时，
最小值为
，由
，得
；当
时，
的最小值为
.由
，即
得
，所以此时
不存在．
综上，的取值范围是
…………………………………13分
解法二：同解法1得的最小值为
.
因为对任意的，总存在
，使得
，所以当
时，
有解，即
在
上有解.设
，则
，
或，得
所以或
时，
在
上有解，故
的取值范围是
.
解法三：同解法1得的最小值为
.
因为对任意的，总存在
，使得
，所以当
时，
有解，即
在
上有解.令
，则
，所以
。所以当
时，
；
当时，得
，不成立，所以
不存在；
当时，
.令
，因为
时，
，所以
在
上为减函数，所以
，所以
.
综上，的取值范围是
.
