期权的无风险套利
期权的无风险套利
摘要：期权的无风险套利机会主要来源于期权价格与理论发生偏离，使原本合约及合约间的价格平衡遭到破坏，继而产生风险为零，收益恒为正套利策略。由于期权的价格在图形上看是一条曲线，因此该曲线的性质很大程度上决定了期权价格应该满足的性质：如曲线的上下限决定了期权价格的上下界，曲线的凸性决定了不同履约价格合约间应当满足的关系。投资者可以从上述这些性质出发，去搜寻期权合约本身及合约之间的无风险套利机会，从而给自己带来收益。 思路如何而来？
研究发现，无风险套利策略很多都是经典的期权套利策略的变型或延伸。试想一下，如果从这些经典的套利策略出发，利用损益图以及期权价格曲线的性质，能否挖掘无风险套利机会存在的条件？接下来，就尝试上述的挖掘。
一、垂直套利策略 ——> 无风险套利
首先介绍简单的情形：对于垂直套利的一系列策略而言，都只涉及两个期权，且期权合约的差异只有执行价格不同。那么根据期权的价格曲线：
对于看涨期权而言，执行价格越高，其他参数相同，期权价格越低；而看跌期权则正好相反。因此，对于垂直套利策略来说，如果两个执行价格不同的看涨期权合约（或者看跌期权合约）价格不满足上述曲线的性质，则该垂直套利策略无风险。具体看下述损益图：以欧式看涨期权牛市垂直套利为例，较低执行价格看涨期权价格也较低，则卖高执行价期权同时买低执行价期权构成无风险套利策略。
由于 ，即该垂直策略初始现金流为正值： ，并且无论到期标的资产价格为何值，该垂直策略都保证大于 的收益。
垂直套利的其他几种策略都可以类似找出无风险套利机会。
二、蝶式套利策略 ——> 无风险套利
买入蝶式套利（Long Butterfly）
该策略买入一份低执行价格和一份高执行价格期权合约的同时，卖出两份中间执行价格的期权合约。其损益图为：
从损益图可以看出，该策略在标的价格偏离 比较大时，出现亏损。然而如果期权在交易过程当中，执行价格相邻的三份合约出现了价格背离平衡，简单地说，就是执行价格为 的合约被高估（相对于 、 而言）。那么所谓的价格平衡是一种怎样的形式？
之前的报告已经给出了期权价格的希腊值，其中Gamma值为期权价格关于标的资产价格的二次偏导数，且Gamma恒为正值，即曲线是凸的。接下来利用期权价格曲线的凸性，搜寻将蝶式套利策略转化为无风险套利的条件。为此，绘制期权价格关于执行价格的关系曲线示意图。
根据价格曲线的凸性，图中 段斜率绝对值要大于 段斜率的绝对值。转化成数学的关系式即为：
整理不等式（往蝶式套利策略的构成靠拢）:
仔细观察不等式，可以发现不等式两边分别为 、 和 ，已经十分接近蝶式套利的架
构。（如果执行价格间距相等，则形式和蝶式套利一致。）接下来考虑上述不等式不成立的情况下如何构建无风险套利策略。 考虑策略A：买入
、
单位 同时卖出1单位 。
分析策略A：由于 ，则期权到期损益图中，当标的资产价格超过 时，期
权损益为一固定值，且该值与标的资产小于 时的期权损益值一致。根据假设，可知该固定值正好为卖出期权与买入期权的价差：
由于该种情形执行价格的间距不一定相等，因此损益图不像蝶式套利那样关于中间执行
价格对称。
策略A损益图：
对于看跌期权的蝶式买入套利策略，依照同样的分析方法，可以找到无风险套利的机会以及无风险套利的策略。
卖出蝶式套利（Short Butterfly）
该策略卖出一份低执行价格和高执行价格期权合约的同时，买入两份中间执行价格的期权合约，其损益图为：
从损益图可以看出，标的资产价格偏离中间执行价格较小时，策略的损失达到最大。而标的价格远离中间执行价格时，该策略为投资者带来固定收益。
以看涨期权为例，根据上一段的分析，若不等式
成立，则前述的买入蝶式套利方式的无风险套利机会不存在，那对于卖出蝶式套利策略，其
对应的无风险套利产生的条件又是如何？简单试想一下，若卖出套利策略的损益图向上平移若干个单位，使得期权到期损益曲线完全位于横轴上方，则该种情况下卖出蝶式策略称为无风险套利。而损益曲线的向上平移，意味着策略的初始现金流入增加，即 、 与 的价差扩大。至于价差满足怎样的关系式，由下面示意图给出：
通过上图，可以得知： 的头寸 考虑如下的价差关系式：
观察不等式右边项，如果将 的头寸设为 单位空头，则通过不等式左边构建出来
的策略，其损益图完全位于横轴上方。
于是，上述不等式正是将卖出蝶式套利策略转化为无风险套利的条件。
无风险套利策略：卖出 、 单位 ，同时买入一份 。
对于看跌期权的蝶式卖出套利策略，依照同样的分析方法，可以找到无风险套利的机会以及无风险套利的策略。
三、飞鹰式套利策略 ——> 无风险套利
买入飞鹰式套利（Long Condor）
该策略涉及4个期权合约，在买入一个低执行价格和一个高执行价格期权合约的同时，卖出两个中间执行价格（两个执行价格不同）的期权合约，并且执行价格间距相等。该策略的损益图为（看涨期权）：
从损益图看，飞鹰式套利与蝶式套利十分类似，区别就在于中间执行价格期权合约的选择。接下来用类似于寻找蝶式无风险套利的方法，搜寻4个期权合约之间存在无风险套利的机会。
根据期权价格曲线的凸性：
将上面两个不等式相加：
如果联合的不等式不成立，即：
则构建如下策略： 买入
单位 和
单位 ，同时分别卖出一份 、 。
策略分析：绘制上述策略的损益图。
从上图可知，无论到期时，标的资产价格落在哪个区间范围，策略都保证非负收益，因此为无风险策略。
对于看跌期权的买入飞鹰式套利，用同样的方法可以进行分析。
卖出飞鹰式套利（Short Condor）
该策略在卖出一份高执行价格和低执行价格期权合约的同时，买入两份中间执行价格（两个执行价格不同）的期权合约，并且执行价格距离相等。其损益图（看涨期权）为：
利用类似于寻找卖出蝶式无风险套利的方法，考虑如何在什么情况下，期权损益曲线能够完全平移到横轴上方。
有期权到期的Payoff图可以看出，只要期权初始现金流入量高于 、 ，就可以保证策略无风险。其中：
的头寸， 的头寸
而飞鹰式套利策略4个期权合约价格满足：
即：
假如不等式左边的值太大，则会产生如卖出蝶式的无风险套利机会。于是给出卖出飞鹰
式套利策略成为无风险套利的条件：
、
其中：
在上述无风险套利机会下，给出如下策略： 卖出
单位 、
单位 的同时，分别买入一份 、 。
策略分析：根据前面的描述，可知该策略的到期损益曲线完全位于横轴上方。
对于看跌期权的卖出飞鹰式套利，用同样的方法可以进行分析。
四、期权的其他无风险套利
除了前述的通过期权的经典套利策略搜寻无风险套利机会之外，还有其他的无风险套利
机会。如单个期权价格超出上下限的范围时，就能够通过卖出（买入）期权的同时买入（卖出）标的资产的方法进行无风险套利。接下来再介绍一种常见的期权无风险套利机会。
对相同标的、相同到期时间、以及相同执行价格的看涨期权和看跌期权而言，两者的价格满足一个等式，并且称该性质为Put-Call Parity。如果该等式一旦变成不等式，则可以通过卖出不等式两边价格较高的资产组合同时买入价格较低的资产组合的方式来进行无风险套利。
基于Put-Call Parity的无风险套利策略可以理解为：通过期权复制期货（现货）的方式在期权、期货两个市场之间进行无风险套利。下面举个简单例子来说明这种无风险套利策略的设计。
例子：假如当前标的股票价格为10元，而执行价格为10元的三个月到期看涨期权价格为5元、看跌期权价格也为5元，一年期无风险利率为4%，试问这种情况下是否存在无风险套利机会？
解答：根据Put-Call Parity： ，而上例中c=5，p=5，S=10，X=10，r=0.04，T=0.25，于是 ，而 。故存在无风险套利机会，以下是期权复制现货的过程：买入一份看涨期权同时卖出一份看跌期权，从损益图来看，该期权组合的损益跟买入股票完全吻合。接下来构建无风险套利策略：买入一份看涨期权、卖出一份看跌期权、卖出一份股票。
策略分析：上述策略初始资金为净流入10元，而策略的到期payoff为0（无论最终股票价格为何值），而策略的净收益为10元的利息： 。
五、小结
前面几节已经详细介绍了期权的几种简单无风险套利机会的搜索方法，并且其中一些方法还结合了经典的期权套利策略。现将上述的搜索方法进行简单分类如下表：
