第八节 机械能守恒定律
[A级 抓基础]
1. (多选)在下列几个实例中，机械能守恒的是( )
A．所受的合外力为零的物体
B．在光滑水平面上被细线拉住做匀速圆周运动的小球
C．在粗糙斜面上下滑的物体，下滑过程中受到沿斜面向下的拉力，拉力大小等于滑动摩擦力
D．如图所示，在光滑水平面上压缩弹簧的小球
解析：所受的合外力为零的物体的运动是匀速直线运动，动能保持不变，但如果物体的高度发生变化，则机械能变化，例如降落伞匀速下降时机械能减少，A错；在光滑水平面上做匀速圆周运动的小球，其动能不变，势能也不变，球的机械能守恒，B对；在粗糙斜面上下滑的物体，在下滑过程中，除重力做功外，滑动摩擦力和沿斜面向下的拉力的合力为零，这两个力所做的功之和为零，物体所受斜面的弹力不做功，所以整个过程中相当于只有重力做功，物体的机械能守恒，C对；在题图压缩弹簧的过程中，弹簧的弹性势能增加，所以小球的机械能减少，但小球和弹簧组成的系统的机械能守恒，D错.
答案：BC
2.(多选)如图所示，一个铁球从竖直固定在地面上的轻弹簧正上方某处自由下落，在A点接触弹簧后将弹簧压缩，到B点铁球的速度为零，然后被弹回，不计空气阻力，铁球从A下落到B的过程中，下列说法中正确的是( )
A．铁球的机械能守恒
B．铁球的动能和重力势能之和不断减小
C．铁球的动能和弹簧的弹性势能之和不断增大
D．铁球的重力势能和弹簧的弹性势能之和先变小后变大
解析：对铁球，除了重力对它做功以外，弹簧的弹力也做功，所以铁球的机械能不守恒，但是铁球和弹簧组成的系统机械能守恒，故A错误；铁球和弹簧组成的系统机械能守恒，从A到B的过程中，弹簧被压缩，弹性势能不断增大，则铁球的动能和重力势能之和不断减小，故B正确；铁球从A到B的过程中，重力势能不断减小，则铁球的动能和弹簧的弹性势能之和不断增大，故C正确；铁球刚接触弹簧的一段时间内，弹簧弹力F较小，小于铁球重力，加速度方向向下，铁球加速，随着F变大，加速度减小，当加速度减小到零时速度达到最大，之后铁球继续压缩弹簧，弹簧弹力大于重力，加速度方向向上，铁球做减速运动，直到速度减为零时到达最低点，可见在从A到B的过程中，铁球速度先增大后减小，则动能先增大后减小，所以铁球的重力势能和弹簧的弹性势能之和先变小后变大，故D正确．
答案：BCD
3.如图所示，质量为m的小球以速度v0离开桌面．若以桌面为零势能面，则它经过A点时所具有的机械能是(不计空气阻力)( )
A. mv
＋mgh
B. mv
－mgh
C. mv
D. mv
＋mg(H－h)
解析：由机械能守恒定律可知，小球在A点的机械能与小球在桌面上的机械能相等，其大小为mv
，故C正确．
答案：C
4．(2018·天津卷)滑雪运动深受人民群众喜爱．某滑雪运动员(可视为质点)由坡道进入竖直面内的圆弧形滑道AB，从滑道的A点滑行到最低点B的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变，则运动员沿AB下滑过程中( )
A．所受合外力始终为零 B．所受摩擦力大小不变
C．合外力做功一定为零 D．机械能始终保持不变
解析：运动员从A到B做曲线运动，所以合力一定不为零，A错误；运动员的速率不变，由FN－mgcos θ＝m⇒FN＝mgcos θ＋m
知，在不同的位置，对曲面的压力不同，进而摩擦力不同，B错误；由动能定理知，合外力做功一定为零，故C正确；运动员从A到B做曲线运动，动能不变，重力势能减少，机械能不守恒，D错误．
答案：C
5．(多选)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离，如图所示．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是( )
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关
解析：运动员到达最低点前，重力一直做正功，重力势能始终减小，A正确；蹦极绳张紧后的下落过程中，运动员所受蹦极绳的弹性力方向向上，所以弹性力做负功，弹性势能增加，B正确；蹦极过程中，由于只有重力和蹦极绳的弹性力做功，因而运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒，C正确；重力势能的改变只与高度差有关，与重力势能零点的选取无关，D错误．
答案：ABC
6．在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小( )
A．一样大 B．水平抛的最大
C．斜向上抛的最大 D．斜向下抛的最大
解析：根据机械能守恒定律，可知mv
＝mgh＋
mv
，得v末＝
，又三个小球的初速度大小以及高度相等，则落地时的速度大小相等，A项正确．
答案：A
7.两个质量不同的小铁块A和B，分别从高度相同的都是光滑的斜面和圆弧斜面的顶点滑向底部，如图所示．如果它们的初速度都为零，则下列说法正确的是( )
A．下滑过程中重力所做的功相等
B．它们到达底部时动能相等
C．它们到达底部时速度相等
D．它们在下滑过程中各自机械能不变
解析：小铁块A和B在下滑过程中，只有重力做功，机械能守恒，由mgH＝mv2得v＝
，所以A和B到达底部时速率相等，故C错误、D正确．由于A和B的质量不同，所以下滑过程中重力所做的功不相等，到达底部时的动能也不相等，故A、B错误．正确答案为D.
答案：D
[B级 提能力]
8.如图所示，一根长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b.a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧．从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为( )
A．h B．1.5h
C．2h D．2.5h
解析：在b落地前，a、b组成的系统机械能守恒，且a、b两物体速度大小相等，根据机械能守恒定律，可知
3mgh－mgh＝(m＋3m)v2⇒v＝
.
b球落地时，a球高度为h，之后a球向上做竖直上抛运动，上升过程中机械能守恒，有mv2＝mgΔh，所以Δh＝
＝
，即a可能达到的最大高度为1.5h，B项正确．
答案：B
9.如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长时，圆环高度为h.让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零，则在圆环下滑到底端的过程中( )
A．圆环机械能守恒
B．弹簧的弹性势能先减小后增大
C．弹簧的弹性势能变化了mgh
D．弹簧与光滑杆垂直时圆环动能最大
解析：圆环与弹簧构成的系统机械能守恒，圆环机械能不守恒，A错误；弹簧形变量先增大后减小，所以弹性势能先增大后减小，B错误；由于圆环与弹簧构成的系统机械能守恒，圆环的机械能减少了mgh，所以弹簧的弹性势能增加mgh，C正确；弹簧与光滑杆垂直时，圆环所受合力沿杆向下，圆环具有与速度同向的加速度，所以做加速运动，D错误．
答案：C
10.(多选)一长度为2R的轻质细杆两端分别固定质量为m和2m的小球M和N，两小球可视为质点，细杆的中点处有一轴，细杆可绕其在竖直面内无摩擦地转动．开始时细杆呈竖直状态，N在最高点，如图所示，当装置受到很小扰动后，细杆开始绕过中点的轴转动，则在球N转动到最低点的过程中，下列说法正确的是( )
A．N的重力势能减少量等于M的重力势能增加量
B．细杆对N做的功的绝对值大于细杆对M做的功的绝对值
C．运动过程中两球的最大速度均为
D．细杆对N做的功为－mgR
解析：N的重力势能减少量为2mg·2R＝4mgR，M的重力势能增加量为mg·2R＝2mgR，故A错误；对两个球组成的系统，重力和细杆的弹力做功，只有重力势能和动能相互转化，系统机械能守恒，故细杆对两个球做功的代数和为零，即细杆对N做的功的绝对值等于细杆对M做的功的绝对值，故B错误；球N在最低点时两球速度最大，根据系统机械能守恒，有4mgR－2mR＝(2m)v2＋
·mv2，解得v＝
，故C正确；对球N，根据动能定理有4mgR＋W＝
(2m)v2，联立解得W＝－
mgR，细杆对N做的功为－
·mgR，故D正确．
答案：CD
11．如图所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC，其半径R＝0.5 m，轨道在C处与水平地面相切，在C处放一小物块，给它一水平向左的初速度v0＝5 m/s，结果它沿CBA运动，通过A点，最后落在水平地面上的D点，求C、D的距离(重力加速度g取10 m/s2)．
解析：设小物块质量为m，它从C点经B到达A时速度为v，小物块受两个力作用，只有重力做功，取CD面为零势能面，由机械能守恒定律，得
mv
＝
mv2＋2mgR.①
物块由A到D做平抛运动，设时间为t，水平位移x，
得2R＝gt2.②
又x＝vt.③
联立①②③式，解得x＝1 m.
答案：1 m
12．如图所示，是检验某种防护罩承受冲击能力的装置，M为半径R＝1.6 m、固定于竖直平面内的光滑半圆弧轨道，A、B分别是轨道的最低点和最高点；N为防护罩，它是一个竖直固定的圆弧，其半径r＝
m，圆心位于B点．在A点放置水平向左的弹簧枪，可向M轨道发射速度不同的质量均为m＝0.01 kg的小钢珠，弹簧枪可将弹性势能完全转化为小钢珠的动能．假设某次发射的小钢珠沿轨道恰好能经过B点，水平飞出后落到N的某一点上，取g＝10 m/s2.求：
(1)钢珠在B点的速度大小；
(2)发射该钢珠前，弹簧的弹性势能Ep；
(3)钢珠从M圆弧轨道B点飞出至落到圆弧N上所用的时间．
解析：(1)在B处对小钢珠进行受力分析，由牛顿第二定律，得mg＝m，解得vB＝
＝4 m/s.
(2)从发射钢珠到上升至B点的过程中，由机械能守恒定律，得
Ep＝ΔEp＋ΔEk＝mg·2R＋mv
，
解得Ep＝0.4 J.
(3)钢珠做平抛运动，有
h＝gt2，
x＝vBt，
又x2＋h2＝r2，
联立解得t＝0.4 s.
答案：(1)4 m/s (2)0.4 J (3)0.4 s
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