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2019年辽宁省抚顺市中考数学试题及参考答案(word解析版)-

2019年辽宁省抚顺市中考数学试题及参考答案与解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．3的相反数是（ ） A．3 B． C．﹣3 D．﹣
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．4x•2x＝8x B．2m+3m＝5m C．x9÷x3＝x3 D．（﹣a3b2）2＝﹣a6b4
4．如图是由5个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．
5．一组数据1，3，﹣2，3，4的中位数是（ ） A．1 B．﹣2 C． D．3 6．下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．对全国中学生视力和用眼卫生情况的调查 B．对某班学生的身高情况的调查 C．对某鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数的调查 D．对某池塘中现有鱼的数量的调查 7．若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．2或4 8．一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED的度数是（ ）

A．15° B．25° C．45° D．60°
1

9．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是（ ）

A．AB＝CD，AB⊥CD B．AB＝CD，AD＝BC C．AB＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD∥BC 10．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8cm，CH是AB边上的高，正方形DEFG的边DE在高CH上，F，G两点分别在AC，AH上．将正方形DEFG以每秒1cm的速度沿射线DB方向匀速运动，当点G与点B重合时停止运动．设运动时间为ts，正方形DEFG与△BHC重叠部分的面积为Scm2，则能反映S与t的函数关系的图象（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．据报道，某节日期间某市地铁二号线载客量达到17340000人次，再创历史新高．将数据17340000用科学记数法表示为 ． 12．不等式组的解集是 ．
13．若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 ． 14．如果把两条直角边长分别为5，10的直角三角形按相似比积是

15．一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ．
进行缩小，得到的直角三角形的面
16．如图，矩形ABCD的顶点A，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，若点A的坐标为（3，4），AB＝2，AD∥x轴，则点C的坐标为 ．
2


17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，D是△ABC所在平面内一点，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则BD的长为 ．

18．如图，直线l1的解析式是y＝为x，直线l2的解析式是y＝x，点A1在l1上，A1的横坐标，作A1B1⊥l1交l2于点B1，点B2在l2上，以B1A1，B1B2为邻边在直线l1，l2间作菱形A1B1B2C1，分别以点A1，B2为圆心，以A1B1为半径画弧得扇形B1A1C1和扇形B1B2C1，记扇形B1A1C1与扇形B1B2C1重叠部分的面积为S1；延长B2C1交l1于点A2，点B3在l2上，以B2A2，B2B3为邻边在l1，l2间作菱形A2B2B3C2，分别以点A2，B3为圆心，以A2B2为半径画弧得扇形B2A2C2和扇形B2B3C2，记扇形B2A2C2与扇形B2B3C2重叠部分的面积为S2………按照此规律继续作下去，则Sn＝ ．（用含有正整数n的式子表示）

三、解答题（本大题共2小题，共22分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a＝2，b＝2﹣．
20．（12分）为提升学生的艺术素养，某校计划开设四门选修课程：声乐、舞蹈、书法、摄影．要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证计划的有效实施，学校随机对部分学生进行了一次调查，并将调査结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．
3

学生选修课程统计表
课程 声乐 舞蹈 书法 摄影 合计
根据以上信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，b＝ ． （2）求出a的值并补全条形统计图．
（3）该校有1500名学生，请你估计选修“声乐”课程的学生有多少名．
（4）七（1）班和七（2）班各有2人选修“舞蹈”课程且有舞蹈基础，学校准备从这4人中随机抽取2人编排“舞蹈”在开班仪式上表演，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率．
人数 14 8 16 a m 所占百分比
b% 16% 32% 24% 100%
四、解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（12分）为响应“绿色生活，美丽家园”号召，某社区计划种植甲、乙两种花卉来美化小区环境．若种植甲种花卉2m2，乙种花卉3m2，共需430元；种植甲种花卉1m2，乙种花卉2m2，共需260元．
（1）求：该社区种植甲种花卉1m2和种植乙种花卉1m2各需多少元？
（2）该社区准备种植两种花卉共75m2且费用不超过6300元，那么社区最多能种植乙种花卉多少平方米？
22．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作▱GDEC．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由． （2）若点B是
的中点，⊙O的半径为2，求4 的长．

五、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23．（12分）如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内） （参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）

六、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 24．（12分）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的60%．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为40元时，每天的销售量为300件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 七、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 25．（12分）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且DE＝CF，点P在射线BC上（点P不与点F重合）．将线段EP绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点Q．
（1）如图1，若点E是CD的中点，点P在线段BF上，线段BP，QC，EC的数量关系为 ． （2）如图2，若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）正方形ABCD的边长为6，AB＝3DE，QC＝1，请直接写出线段BP的长．

八、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
5

（1）求抛物线的解析式．
（2）点N是y轴负半轴上的一点，且ON＝，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连接MN，当MN平分∠OMD时，求点Q的坐标．
（3）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出△PCE与△ACD全等时点P的坐标．



参考答案与解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．3的相反数是（ ） A．3 B． C．﹣3 D．﹣
【知识考点】相反数．
【思路分析】根据相反数的定义，即可解答． 【解题过程】解：3的相反数是﹣3，故选：C．
【总结归纳】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【知识考点】轴对称图形；中心对称图形．
【思路分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解题过程】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
6

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； 故选：D．
【总结归纳】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3．下列运算正确的是（ ）
A．4x•2x＝8x B．2m+3m＝5m C．x9÷x3＝x3 D．（﹣a3b2）2＝﹣a6b4 【知识考点】整式的混合运算．
【思路分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决． 【解题过程】解：∵4x•2x＝8x2，故选项A错误； ∵2m+3m＝5m，故选项B正确； ∵x9÷x3＝x6，故选项C错误； ∵（﹣a3b2）2＝a6b4，故选项D错误； 故选：B．
【总结归纳】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法． 4．如图是由5个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．
【知识考点】简单组合体的三视图；由三视图判断几何体．
【思路分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共三列，左边有1竖列，中间有1竖列，右边是2竖列，结合四个选项选出答案．
【解题过程】解：从正面看去，一共三列，左边有1竖列，中间有1竖列，右边是2竖列． 故选：A．
【总结归纳】本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象能力．
5．一组数据1，3，﹣2，3，4的中位数是（ ） A．1 B．﹣2 C．【知识考点】中位数．
【思路分析】将数据从小到大排列，再根据中位数的概念求解可得． 【解题过程】解：将这组数据从小到大排列为﹣2、1、3、3、4， 则这组数据的中位数为3， 故选：D．
【总结归纳】考查了确定一组数据的中位数能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方7
D．3
法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
6．下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．对全国中学生视力和用眼卫生情况的调查 B．对某班学生的身高情况的调查 C．对某鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数的调查 D．对某池塘中现有鱼的数量的调查 【知识考点】全面调查与抽样调查．
【思路分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解题过程】解：A、对全国中学生视力和用眼卫生情况的调查，适合抽样调查，故此选项错误； B、对某班学生的身高情况的调查，适合全面调查，故此选项正确；
C、对某鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数的调查，适合抽样调查，故此选项错误； D、对某池塘中现有鱼的数量的调查，适合抽样调查，故此选项错误； 故选：B．
【总结归纳】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 7．若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．2或4 【知识考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【思路分析】分4是腰长与底边两种情况，再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即可． 【解题过程】解：①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2， 能组成三角形， 所以，第三边为4；
②4是底边时，三角形的三边分别为2、2、4， ∵2+2＝4， ∴不能组成三角形， 综上所述，第三边为4． 故选：C．
【总结归纳】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论． 8．一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED的度数是（ ）

A．15° B．25° C．45° D．60°
8

【知识考点】平行线的性质．
【思路分析】由EF∥BC，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠CEF的度数，结合∠DEF＝45°及∠CED＝∠CEF﹣∠DEF，即可求出∠CED的度数，此题得解． 【解题过程】解：根据题意，得：∠ACB＝60°，∠DEF＝45°． ∵EF∥BC，
∴∠CEF＝∠ACB＝60°，
∴∠CED＝∠CEF﹣∠DEF＝60°﹣45°＝15°． 故选：A．
【总结归纳】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 9．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是（ ）

A．AB＝CD，AB⊥CD B．AB＝CD，AD＝BC C．AB＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD∥BC 【知识考点】三角形中位线定理；正方形的判定．
【思路分析】证出EN、NF、FM、ME分别是△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线，得出EN∥AB∥FM，ME∥CD∥NF，EN＝AB＝FM，ME＝CD＝NF，证出四边形EMFN为平行四边形，当AB＝CD时，EN＝FM＝ME＝NF，得出平行四边形ABCD是菱形；当AB⊥CD时，EN⊥ME，则∠MEN＝90°，即可得出菱形EMFN是正方形．
【解题过程】解：∵点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点， ∴EN、NF、FM、ME分别是△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线， ∴EN∥AB∥FM，ME∥CD∥NF，EN＝∴四边形EMFN为平行四边形， 当AB＝CD时，EN＝FM＝ME＝NF， ∴平行四边形ABCD是菱形； 当AB⊥CD时，EN⊥ME， 则∠MEN＝90°， ∴菱形EMFN是正方形； 故选：A．
【总结归纳】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定以及三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
10．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8cm，CH是AB边上的高，正方形DEFG的边DE在高CH上，F，G两点分别在AC，AH上．将正方形DEFG以每秒1cm的速度沿射线DB方向匀速运动，当点G与点B重合时停止运动．设运动时间为ts，正方形DEFG与△9
AB＝FM，ME＝CD＝NF，

BHC重叠部分的面积为Scm2，则能反映S与t的函数关系的图象（ ）

A． B． C． D．
【知识考点】动点问题的函数图象．
【思路分析】分0≤t≤2、2＜t≤4、4＜t≤6，逐次求出函数表达式即可． 【解题过程】解：由题意得：AH＝BH＝CH＝4，FE＝FG＝GH＝EH＝2，

（1）当0≤t≤2时，如图1，设EF交CH于点K， 则S＝S矩形EDHK＝t×2＝2t；
（2）2＜t≤4时，如图2，设EF与BC交于点M，DE于BC交于点N， S＝S正方形DEFG﹣S△EMN＝4﹣×[2﹣（4﹣t）]2＝﹣（t﹣2）2+4；
（3）4＜t≤6时，如图3，设GF交BC于点L， S＝S△BGL＝故选：B．
【总结归纳】本题考查的是动点问题的函数图象问题，涉及到二次函数、一次函数等知识，此类问题关键是，要弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．据报道，某节日期间某市地铁二号线载客量达到17340000人次，再创历史新高．将数据17340000用科学记数法表示为 ． 【知识考点】科学记数法—表示较大的数．
10
×[2﹣（t﹣4）]2＝（t﹣6）2；

【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解题过程】解：17340000＝1.734×107， 故答案为：1.734×107．
【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12．不等式组的解集是 ．
【知识考点】解一元一次不等式组．
【思路分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【解题过程】解：解不等式①，得x≥4； 解不等式②，得x≥2； ∴不等式组的解集为x≥4， 故答案为x≥4．
【总结归纳】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 ． 【知识考点】一元二次方程的定义；根的判别式．
【思路分析】根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案． 【解题过程】解：由题意可知：△＝4﹣4k≥0， ∴k≤1， ∵k≠0， ∴k≠0且k≤1， 故答案为：k≠0且k≤1；
【总结归纳】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 14．如果把两条直角边长分别为5，10的直角三角形按相似比积是

【知识考点】相似三角形的性质．
【思路分析】设缩小后的直角三角形的两条直角边分别为a、b（a＜b），由于缩小前后两三角形相似，根据相似的性质得＝＝，然后根据比例性质计算出a和b的值，再根据三角形面进行缩小，得到的直角三角形的面
积公式计算缩小后的直角三角形的面积．
【解题过程】解：设缩小后的直角三角形的两条直角边分别为a、b（a＜b），
根据题意得＝＝，
解得a＝3，b＝6，
11

所以ab＝×3×6＝9．
∴缩小后的直角三角形的面积为9． 故答案为：9．
【总结归纳】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
15．一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ．

【知识考点】几何概率．
【思路分析】先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论． 【解题过程】解：由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖， ∴黑色方砖在整个地板中所占的比值＝∴小球最终停留在黑色区域的概率是故答案为：．
；
＝，
【总结归纳】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率＝相应的面积与总面积之比． 16．如图，矩形ABCD的顶点A，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，若点A的坐标为（3，4），AB＝2，AD∥x轴，则点C的坐标为 ．

【知识考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【思路分析】根据矩形的性质和A点的坐标，即可得出C的纵坐标为2，设C（x，2），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出k＝2x＝3×4，解得x＝6，从而得出C的坐标为（6，2）． 【解题过程】解：∵点A的坐标为（3，4），AB＝2， ∴B（3，2），
∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，
12

∵AD∥x轴， ∴BC∥x轴， ∴C点的纵坐标为2， 设C（x，2），
∵矩形ABCD的顶点A，C在反比例函数y＝∴k＝2x＝3×4， ∴x＝6， ∴C（6，2）， 故答案为（6，2）．
【总结归纳】本题考查了据反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得C的纵坐标为2是解题的关键．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，D是△ABC所在平面内一点，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则BD的长为 ．
（k＞0，x＞0）的图象上，

【知识考点】等腰直角三角形；平行四边形的判定．
【思路分析】分两种情况讨论，由平行四边形的性质和勾股定理可求BD的长． 【解题过程】解：如图，若BC为边，AB是对角线，

∵四边形ACBD1是平行四边形，且∠ACB＝90°，CA＝CB＝2， ∴BD1＝AC＝2， 若AB，BC为边，
∵四边形ABCD3是平行四边形， ∴D3A∥BC，AD3＝BC＝2， ∴∠D3AE＝∠CBA＝45°， ∴D3E＝AE＝
，
13
∴BE＝AE+AB＝3∴BD3＝若AB，AC为边，

＝＝2，
∵ABD2C是平行四边形， ∴BD2＝AC＝2， 故答案为：2或2
【总结归纳】本题考查了平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 18．如图，直线l1的解析式是y＝为x，直线l2的解析式是y＝x，点A1在l1上，A1的横坐标，作A1B1⊥l1交l2于点B1，点B2在l2上，以B1A1，B1B2为邻边在直线l1，l2间作菱形A1B1B2C1，分别以点A1，B2为圆心，以A1B1为半径画弧得扇形B1A1C1和扇形B1B2C1，记扇形B1A1C1与扇形B1B2C1重叠部分的面积为S1；延长B2C1交l1于点A2，点B3在l2上，以B2A2，B2B3为邻边在l1，l2间作菱形A2B2B3C2，分别以点A2，B3为圆心，以A2B2为半径画弧得扇形B2A2C2和扇形B2B3C2，记扇形B2A2C2与扇形B2B3C2重叠部分的面积为S2………按照此规律继续作下去，则Sn＝ ．（用含有正整数n的式子表示）

【知识考点】规律型：点的坐标；两条直线相交或平行问题；菱形的性质；扇形面积的计算． 【思路分析】过A1作A1D⊥x轴于D，连接B1C1，B2C2，B3C3，B4C4，根据已知条件得到点A1（，），求得OD＝＝，A1D＝，根据勾股定理得到OA1＝＝，求得∠A1OD＝30°，得到∠B1OD＝60°，求得∠A1OB1＝30°，推出△A1B1C1是等边三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【解题过程】解：过A1作A1D⊥x轴于D，连接B1C1，B2C2，B3C3，B4C4， ∵点A1在l1上，A1的横坐标为∴OD＝，A1D＝，
14
，点A1（，），

∴OA1＝＝OA1，
＝，
∴在Rt△A1OD中，A1D＝∴∠A1OD＝30°， ∵直线l2的解析式是y＝∴∠B1OD＝60°， ∴∠A1OB1＝30°，
x，
∴A1B1＝OA1•tan∠A1OB1＝1， ∵A1B1⊥l1交l2于点B1， ∴∠A1B1O＝60°， ∴∠A1B1B2＝120°， ∴∠B1A1C1＝60°， ∵四边形A1B1B2C1是菱形， ∴△A1B1C1是等边三角形， ∴S1＝2（S∵A1C1∥B1B2，
∴∠A2A1C1＝∠A1OB1＝30°， ∴A2C1＝，A2B2＝A2C1+B2C1＝，∠A2B2O＝60°，
﹣S）＝2×（﹣×12）＝﹣，
同理，S2＝2（S）×（S3＝（… ∴Sn＝（故答案为：（﹣﹣）×（﹣）2，
）×（﹣S）＝2×[﹣×（）2]＝（﹣）4，
）2（n﹣1）＝（﹣）×（）2n2．
﹣）×（）2n2．
﹣15


【总结归纳】本题考查了扇形的计算，规律型：点的坐标，菱形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题（本大题共2小题，共22分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）先化简，再求值：【知识考点】分式的化简求值．
【思路分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a、b的值代入计算可得． 【解题过程】解：原式＝＝＝•，
时，
＝．

÷
÷（a﹣），其中a＝2，b＝2﹣．
当a＝2，b＝2﹣原式＝【总结归纳】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 20．（12分）为提升学生的艺术素养，某校计划开设四门选修课程：声乐、舞蹈、书法、摄影．要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证计划的有效实施，学校随机对部分学生进行了一次调查，并将调査结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．
学生选修课程统计表
课程 声乐 舞蹈 书法 摄影 合计
人数 14 8 16 a m 16
所占百分比
b% 16% 32% 24% 100%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，b＝ ． （2）求出a的值并补全条形统计图．
（3）该校有1500名学生，请你估计选修“声乐”课程的学生有多少名．
（4）七（1）班和七（2）班各有2人选修“舞蹈”课程且有舞蹈基础，学校准备从这4人中随机抽取2人编排“舞蹈”在开班仪式上表演，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率．

【知识考点】用样本估计总体；统计表；条形统计图；列表法与树状图法．
【思路分析】（1）由舞蹈人数及其所占百分比可得m的值，声乐人数除以总人数即可求出b的值； （2）总人数乘以摄影对应百分比求出其人数，从而补全图形； （3）利用样本估计总体思想求解可得；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率公式求解．
【解题过程】解：（1）m＝8÷16%＝50，b%＝故答案为：50、28；
（2）a＝50×24%＝12，补全图形如下：
×100%＝28%，即b＝28，

（3）估计选修“声乐”课程的学生有1500×28%＝420（人）． （4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数为4， 则所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率为17
＝．

【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图表．
四、解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（12分）为响应“绿色生活，美丽家园”号召，某社区计划种植甲、乙两种花卉来美化小区环境．若种植甲种花卉2m2，乙种花卉3m2，共需430元；种植甲种花卉1m2，乙种花卉2m2，共需260元．
（1）求：该社区种植甲种花卉1m2和种植乙种花卉1m2各需多少元？
（2）该社区准备种植两种花卉共75m2且费用不超过6300元，那么社区最多能种植乙种花卉多少平方米？
【知识考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【思路分析】（1）设该社区种植甲种花卉1m2需x元，种植乙种花卉1m2需y元，根据“若种植甲种花卉2m2，乙种花卉3m2，共需430元；种植甲种花卉1m2，乙种花卉2m2，共需260元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该社区种植乙种花卉mm2，则种植甲种花卉（75﹣m）m2，根据总费用＝种植每m2所需费用×种植数量结合总费用不超过6300元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解题过程】解：（1）设该社区种植甲种花卉1m2需x元，种植乙种花卉1m2需y元， 依题意，得：解得：．
，
答：该社区种植甲种花卉1m2需80元，种植乙种花卉1m2需90元． （2）设该社区种植乙种花卉mm2，则种植甲种花卉（75﹣m）m2， 依题意，得：80（70﹣m）+90m≤6300， 解得：m≤30．
答：该社区最多能种植乙种花卉30m2．
【总结归纳】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作▱GDEC． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由． （2）若点B是的中点，⊙O的半径为2，求的长．
18


【知识考点】等腰直角三角形；平行四边形的性质；直线与圆的位置关系；弧长的计算． 【思路分析】（1）连接OD，求得∠ABC＝45°，根据圆周角定理得到∠COD＝2∠ABC＝90°，根据平行四边形的性质得到DE∥CG，得到∠EDO+∠COD＝180°，推出OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接OB，由点B是得到结论．
【解题过程】解：（1）DE是⊙O的切线； 理由：连接OD，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB， ∴∠ABC＝45°，
∴∠COD＝2∠ABC＝90°， ∵四边形GDEC是平行四边形， ∴DE∥CG，
∴∠EDO+∠COD＝180°， ∴∠EDO＝90°， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线； （2）连接OB， ∵点B是∴＝，
的中点，
的中点，得到＝，求得∠BOC＝∠BOD，根据弧长公式即可∴∠BOC＝∠BOD，
∵∠BOC+∠BOD+∠COD＝360°，
∴的长＝＝π．

19

【总结归纳】本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
五、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23．（12分）如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内） （参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）

【知识考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【思路分析】延长EF交CH于N，根据等腰直角三角形的性质得到CN＝NF，根据正切的定义求出DN，结合图形计算即可．
【解题过程】解：能，理由如下：延长EF交CH于N，

则∠CNF＝90°， ∵∠CFN＝45°， ∴CN＝NF，
设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m， ∴EN＝5+（x+3）＝x+8， 在Rt△DEN中，tan∠DEN＝则DN＝EN•tan∠DEN， ∴x≈0.6（x+8）， 解得，x＝12，
则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），
20
，

答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．
【总结归纳】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
六、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 24．（12分）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的60%．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为40元时，每天的销售量为300件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【知识考点】二次函数的应用．
【思路分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意得到方程组，于是得到结论； （2）设利润为w元，列不等式得到x≤48，根据题意得到函数解析式w＝（﹣10x+700）（x﹣30）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解题过程】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 根据题意得，解得：，
，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+700； （2）设利润为w元， ∵x≤30×（1+60%）＝48， ∴x≤48，
根据题意得，w＝（﹣10x+700）（x﹣30）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000， ∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝50，
∴当x＝48时，w最大＝﹣10×（48﹣50）2+4000＝3960，
答：当销售单价为48时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3960元． 【总结归纳】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
七、解答题（本大题共1小题，共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 25．（12分）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且DE＝CF，点P在射线BC上（点P不与点F重合）．将线段EP绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点Q．
（1）如图1，若点E是CD的中点，点P在线段BF上，线段BP，QC，EC的数量关系为 ． （2）如图2，若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）正方形ABCD的边长为6，AB＝3DE，QC＝1，请直接写出线段BP的长．
21


【知识考点】四边形综合题．
【思路分析】（1）由ASA证明△PEQ≌△EGD，得出PQ＝ED，即可得出结论； （2）由ASA证明△PEQ≌△EGD，得出PQ＝ED，即可得出结论；
（3）①当点P在线段BF上时，点Q在线段BC上，由（2）可知：BP＝EC﹣QC，求出DE＝2，EC＝4，即可得出答案；
②当点P在射线FC上时，点Q在线段BC的延长线上，同理可得：BP＝QC+EC＝5；即可得出答案．
【解题过程】解：（1）BP+QC＝EC；理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
由旋转的性质得：∠PEG＝90°，EG＝EP， ∴∠PEQ+∠GEH＝90°， ∵QH⊥GD，
∴∠H＝90°，∠G+∠GEH＝90°， ∴∠PEQ＝∠G，
又∵∠EPQ+∠PEC＝90°，∠PEC+∠GED＝90°， ∴∠EPQ＝∠GED， 在△PEQ和△EGD中，∴△PEQ≌△EGD（ASA）， ∴PQ＝ED，
∴BP+QC＝BC﹣PQ＝CD﹣ED＝EC， 即BP+QC＝EC； 故答案为：BP+QC＝EC；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 由题意得：∠PEG＝90°，EG＝EP， ∴∠PEQ+∠GEH＝90°， ∵QH⊥GD，
∴∠H＝90°，∠G+∠GEH＝90°， ∴∠PEQ＝∠G，
∵四边形ABCD是正方形，
22
，

∴∠DCB＝90°，BC＝DC， ∴∠EPQ+∠PEC＝90°， ∵∠PEC+∠GED＝90°， ∴∠GED＝∠EPQ， 在△PEQ和△EGD中，∴△PEQ≌△EGD（ASA）， ∴PQ＝ED，
∴BP+QC＝BC﹣PQ＝CD﹣ED＝EC， 即BP+QC＝EC； （3）分两种情况：
①当点P在线段BF上时，点Q在线段BC上， 由（2）可知：BP＝EC﹣QC， ∵AB＝3DE＝6， ∴DE＝2，EC＝4， ∴BP＝4﹣1＝3；
②当点P在射线FC上时，点Q在线段BC的延长线上，如图3所示： 同（2）可得：△PEQ≌△EGD（AAS）， ∴PQ＝ED，
∵BC＝DC，DC＝EC+DE，
∴BP＝BC+PC＝DC+PC＝EC+DE+PC＝EC+PQ+PC＝EC+QC， ∴BP＝QC+EC＝1+4＝5； 综上所述，线段BP的长为3或5．
，

【总结归纳】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
八、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式．
（2）点N是y轴负半轴上的一点，且ON＝
，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，23
QO与抛物线的对称轴交于点M，连接MN，当MN平分∠OMD时，求点Q的坐标．
（3）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出△PCE与△ACD全等时点P的坐标．

【知识考点】二次函数综合题．
【思路分析】（1）用待定系数法，直接将AB代入解析式即可求解． （2）由MN平分∠OMD，MD平行ON即可求出OM＝ON＝OM解析式即可求出与抛物线交点坐标Q即可．
（3）ACD三点的坐标可得△ACD三角形三边长，由CE坐标可得，△PCE和△ACD中CD＝CE，则另两组边对应相等即可，设P点坐标为（x，y）；利用两点间距离公式即列方程求解． 【解题过程】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴解得：， ，
，继而得出M点坐标，由直线∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3． （2）如图1，设对称轴与x轴交于点H，

∵MN平分∠OMD， ∴∠OMN＝∠DMN， 又∵DM∥ON， ∴∠DMN＝∠MNO， ∴∠MNO＝∠OMN，
24

∴OM＝ON＝．
在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OH＝1．
∴，
∴M1（1，1）；M2（1，﹣1）．
①当M1（1，1）时，直线OM解析式为：y＝x， 依题意得：x＝x2﹣2x﹣3．
解得：，， ∵点Q在对称轴右侧的抛物线上运动， ∴Q点纵坐标y＝．
∴，
②当M2（1，﹣1）时，直线OM解析式为：y＝﹣x，
同理可求：，
综上所述：点Q的坐标为：，（3）由题意可知：A（﹣1，0），C（0，﹣3），D （1，﹣4）， ∴AC＝， AD＝， CD＝，
∵直线BC经过B（3，0），C（0，﹣3）， ∴直线BC解析式为y＝x﹣3，
∵抛物线对称轴为x＝1，而直线BC交对称轴于点E， ∴E坐标为（1，﹣2）； ∴CE＝，
设P点坐标为（x，y）， 则CP2＝（x﹣0）2+（y+3）2， 则EP2＝（x﹣1）2+（y+2）2，
∵CE＝CD，若△PCE与△ACD全等，有两种情况， Ⅰ．PC＝AC，PE＝AD，即△PCE≌△ACD．
∴，
25 ，


解得：，，
即P点坐标为P1（﹣3，﹣4），P2（﹣1，﹣6）． Ⅱ．PC＝AD，PE＝AC，即△PCE≌△ACD．
∴，
解得：，，
即P点坐标为P3（2，1），P4（4，﹣1）．
故若△PCE与△ACD全等，P点有四个，坐标为P1（﹣3，﹣4），P2（﹣1，﹣6），P3（2，1），P4（4，﹣1）．
【总结归纳】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
26

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