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2018年广州市中考数学真题精校版-




秘密★启用前

广州市 2018 年初中毕业生学业考试
数 学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题 25 小题，满分 150 分．考试时间 120 分钟． 注意事项：
1. 答卷前，考生务必在答题卡第 1 面、第 3 面、第 5 面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；填写考场试室号、座位号，再用 2B 铅笔把对应这两个号码的标号涂黑．
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题同的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用 2B 铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改 液．不按以上要求作答的答案无效． 4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题（共 30 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1 1．四个数0 ，1 ， 2 ， 中，无理数的是（ ）．
2
1
A. 2 B．1 C． D．
0 2

2. 如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（

）．
D．无数条
A．1 条 B． 3 条 C． 5 条

3. 如图所示的几何体是有4 个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（

）．



A.
B．


C． D．

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4. 下列计算正确的是（ ）．


A． (a b a b1 C． xy x2
y 2 2 2 2
B． a2 2a2 3a4

D． (2x2 3 8x6

5. 如图，直线 AD ， BE 被直线 BF 和 AC 所截，则∠1 的同位角和∠5 的内错角分别是（
）．
F



B
A 1 5 3 2
6 4 C E D
A．∠4 ，∠2


B．∠2 ，∠6 C．∠5 ，∠4 D．∠2 ，∠4 6. 甲袋中装有2 个相同的小球，分别写有数字1 和 2 ，乙袋中装有2 个相同的小球，分别写有数字1 和2 ，
从两个口袋中各随机取出1 个小球，取出的两个小球上都写有数字2 的概率是（
1111A. C. D. B.

2 4 6 3
）．

7. 如图， AB 是⊙ O 的弦，OC⊥AB ，交⊙ O 于点C ，连接OA ，OB ， BC ，若∠ABC 20 ，则∠AOB 的度数是（ ）．
C
A


B O



A． 40 B． 50 C． 70 D． 808.
《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9 枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同）．称重两袋相等，两袋互相交换1 枚后，甲袋比乙袋轻了13 两 （袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重 x 两，每枚白银重 y 两，根据题意 得：（ A．
）．
B． 10 y x 8x y
9x 13 1y
9x 11y (10 y x (8x y 13
11x 9 y
(10 y x (8x y 13
C．
9x 11y (8x y (10 y x 13

D．

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9. 一次函数 y ax b 和反比例函数 y
a b x 在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）．

y 1 1
O
x
1 O 1 x y A.

B．
y 1
1 O
x
1
y
1 O
x
C. D．

10. 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下命令：从原点O 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m ，其行走路线如图所示，第1 次移动到 A1 ，第2 次移动到 A2 ，„，第
n 次移动到 An ，则△OA2 A2018 的面积是（ ）．

y

1

A2 A3 A6 A7 A10 A11

A1
O

A4
A5 A8
A9 A12 D.
1011 2
C．
m2 1 x
9m2
A． 504m2
1009 2
B．
m2
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第二部分 非选择题（共 120 分）
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
11. 已知二次函数 y x，当 x 0 时， y 随 x 的增大而 2 （填“增大”或“减小”）．


12. 如图，旗杆高 AB 8m ，某一时刻，旗杆影子长 BC 16m ，则tan C ．
A

C 13. 方程
B
1 4 的解是 ．

x x 6
14. 如图，若菱形 ABCD的顶点 A ， B 的坐标分别为(3, 0， (2, 0 ，点 D 在 y 轴上，则点 C 的坐标是
．
y C D


B
O A x
15. 如图，数轴上点 A 表示的数为 a ，化简： a a2 4a 4 ．

A 0
16. 如图， CE 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的垂直平分线，垂足为点O ， CE 与 DA 的延长线交于点 E ，

a 2 连接 AC ， BE ， DO ， DO 与 AC 交于点 F ，则下列结论：
①四边形 ACBE 是菱形；②∠ACD ∠BAE ；③ AF : BE 2 : 3 ；④ S四边形AFOE : S△COD 2 : 3 ． 其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
E



D A
O
F

CB
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三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分9 分） 解不等式组：
1 x 0 ．
2x 1 3 18．（本小题满分9 分）
如图， AB 与CD 相交与点 E ， AE CE ， DE BE ，求证：∠A ∠C ．

D

B E
A
C
19．（本小题满分 10 分）
2 a 9 6 已知T ．
2 a(a 3a(a
3 （1） 化简： T ．
（2） 若正方形 ABCD 的边长为a ，且它的面积为9 ，求T 的值．


20．（本小题满分 10 分）
随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生，为了解某小区居民使用共享单车的情况，某研究小组随机采访该小区的10 位居民，得到这10 位居民一周内使用共享单车的次数分别为：17 ， 12 ，15 ， 20 ，17 ， 0 ， 7 ， 26 ，17 ， 9 ．
（1） 这组数据的中位数是 ，众数是 ．
（2） 计算这10 位居民一周内使用共享单车的平均次数．
（3） 若该小区有200 名居民，试估计该小区一周内使用共享单车的总次数．

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21．（本小题满分 12 分）
友谊商店A 型号笔记本电脑售价是 a 元/台，最近，该商店对A 型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5 台，每台按售价销售；若超过5 台，超过部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A 型号笔记本电脑 x 台．
（1） 当 x 8 时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ （2） 若该公司采用方案二购买更合算，求 x 的取值范围．



22、（本小题满分 12 分）
设 P(x, 0 是 x 轴上的一个动点，它与原点的距离为 y1 ．

（1） 求 y1 关于 x 的函数解析式，并画出这个函数的图象．

（2） 若反比例函数 y 的图象与函数 y 的图象交于点 A ，且点 A 的纵坐标为2 ．
2 k x 1
①求 k 值．
②结合图象，当 y1 y2 时，写出 x 的取值范围．



23、（本小题满分 12 分）
如图，在四边形 ABCD 中，∠B ∠C 90 ， AB CD ， AD AB CD ．

D

C
A
B （1） 利用尺规作∠ADC 的平分线 DE ，交 BC 于点 E ． （2） 在（1 ）的条件下．
①证明： AE⊥DE ．
②若CD 2 ， AB 4 ，点 M ， N 分别是 AE ， AB 上的动点，求 BM MN 的最小值．

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24．（本小题满分 14 分）
已知抛物线 y x2 mx 2m 4 （ m 0 ）．
（1） 证明：该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点．
（2） 设该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A ， B （点 A 在点 B 的右侧），与 y 轴交于点C ， A ， B ，C 三点都在⊙ P 上．
①试判断：不论 m 取任何正数，⊙ P 是否经过 y 轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．
m ②若点C 关于直线 x  的对称点为点 E ，点 D(0,1 ，连接 BE ， BD ， DE ， △BDE 的周长记
2 l 为l ，⊙ P 的半径记为 r ，求 的值．
r



25．（本小题满分 14）
如图，在四边形 ABCD 中，∠B 60 ，∠D 30 ， AB BC ．

A
D
B

C

（1） 求∠A ∠C 的度数．
（2） 连接 BD ，探究 AD ， BD ， CD 三者之间的数量关系，并说明理由．
（3） 若 AB 1 ，点 E 在四边形 ABCD 内部运动，且满足 AE BE CE，求点 E 的运动路径的长度．
2 2 2
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广州市 2018 年初中毕业生学业考试数学标准答案


第一部分 选择题（共 30 分）
二、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
.1
【考点】无理数的概念 【答案】A 【解析】无限不循环小数、开方开不尽的数是无理数．故 2 是无理数，答案选A ．


.2【考点】对称轴 【答案】C 【解析】由图可得，五角星的对称轴共有5 条，故答案选C ． 【考点】三视图 【答案】B 【解析】由几何体可得三视图为B 选项，故答案选B ．

.3
.4【考点】完全平方公式，整式的加减，分式除法，幂运算． 【答案】D 【解析】A 选项： (a b2 a2 2ab b2 ，故A 选项错误；
B 选项： a2 2a2 3a2 ，故B 选项错误；
1 C 选项： x2 y x2 y y x2 y2 ，故C 选项错误；
y
D 选项： (2x2 3 8x6 ，故D 选项正确．

.5【考点】平行线的性质 【答案】B 【解析】由图可得∠1 的同位角是∠2 ，∠5 的内错角是∠6 ，故答案选B ． 【考点】概率 【答案】C 【解析】从甲袋中随机取出1 个小球，有2 种情况，从乙袋中随机取出1 个小球，有 2 种情况，
则总共有2 2 4 种情况，而取出的两个小球上都写有数字2 的只有1 种情况，
1 故概率是 P ，故答案选C ．
4
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.7【考点】圆周角定理，垂径定理． 【答案】D 【解析】∵∠ABC 20 ，
∴∠AOC 2∠ABC 40， ∵ OC⊥AB ，
∴∠AOB 2∠AOC 80 ． 故答案选D ．
【考点】二元一次方程组 【答案】D 【解析】设每枚黄金重 x 两，每枚白银重 y 两，
∵甲袋中装有黄金9 枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同）．称重两袋相等， ∴ 9x 11y ， ∵两袋互相交换1 枚后，甲袋比乙袋轻了13 两（袋子重量忽略不计）． ∴ (10y x (8x y 13 ， 故答案选D ．

.8
.9【考点】一次函数图象与反比例函数图象共存 【答案】A 【解析】当反比例函数图象在第一、三象限时，
a b 0 ，则a b ，
选项C 、 D 中， a 0 ， b 0 ，不符合，故排除．
b
，A 选项中， 0 b 1， a 与x轴的截距
∵与 x 轴的截距是小于1 ， ∴ a b ，符合条件．
B 选项中，反比例函数图象在第二、四象限，∴ a b 0 ，∴ a b ， 由一次函数图象可得a b ，则不符合． 故答案选A ．

.01【考点】规律探究 【答案】A 【解析】由图可得，每4 个为一周期，每一个周期横坐标移动了2 个单位，
2018 则 504 余2 ， 504 2 1008 ，
4
∴ A2018 (1009,1 ，

∵ A2 (1,1 ， ∴
S △OA2 A2018 1 (1009 1 1 504m2 ， 2
故答案选A ．

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第二部分 非选择题（共 120 分）
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
.1【考点】二次函数图象的性质 【答案】增大

【解析】∵二次函数 y x2 图象开口向上，对称轴为 y 轴，
∴当 x 0 时， y 随 x 的增大而增大．

.21【考点】锐角三角函数
1【答案】

2 【解析】在Rt△ABC 中， tan C


1 AB 8 ． BC 16 2

.31【考点】解分式方程 【答案】 x 2 【解析】去分母得： x 6 4x ，
解得： x 2 ，
把 x 2 代入 x(x 6 ，得 x(x 6 18 0 ，
∴ x 2 是分式方程的解．

.41【考点】菱形的性质，勾股定理 【答案】(5, 4 【解析】∵ A(3, 0 ， B(2, 0 ，
∴ AB 5 ，
∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AD AB 5 ，

∴ OD AD2 OA2 52 32 4 ， ∴ D(0, 4 ， ∴ C(5, 4 ．
.51【考点】二次根式的化简 【答案】
2 【解析】由数轴可得0 a 2 ，
2 ∴ a a 4a 4 a (a
22 a a 2 a 2 a 2 ．
.61【考点】平行四边形的性质，菱形的判定，垂直平分线的性质，相似三角形． 【答案】①②④
【解析】在平行四边形 ABCD 中， AD BC ，
∵ CE 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的垂直平分线， ∴ CA CB AD ， EA EB ， ∵ AB∥CD ，

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∴∠ACD ∠ADC ∠BAE ，则②正确， ∵∠DCE ∠AOE 90 ， ∴△CDE 是直角三角形， ∴ AC AD AB ，
∴四边形 ACBE 是菱形，则①正确，
1 1 ∵ AO∥CD ， AO AB DC ，
2 2 AF AO 1 ∴ ，CF CD 2 AF AF 1 ∴ ，则③错误， BE AC 3
设 S△AFO k ， AF 1 ∵ ，CF 2
CF 2
∴ S△OFC 2k ， S△DFC

S△AFO 4k ，
AF S△AOE S△AOC 3k ， ∴

∴ S四边形AFOE 4k ， S△COD 6k ，

∴ S四边形AFOE : S△COD 4k : 6k 2 : 3 ，则④正确． 故答案填①②④．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
.71【考点】解不等式组． 【答案】1 x 2 ． 1 x 0①
【解析】，2x 1 3②
解不等式①，可得： x 1，
解不等式②，可得： 2x 4 ，解得： x 2 ， ∴不等式组的解集为1 x 2 ．

.81【考点】全等三角形的判定． 【答案】证明见解析．
【解析】在△ADE 和△CBE 中，
AE CE ∠AED ∠CEB ， DE BE ∴△ADE ≌△CBE （ SAS ），

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∴∠A ∠C ．

.91【考点】（1）分式的化简．（2）正方形的面积，算术平方根．
1 1
【答案】（1） ．（2） T ．
a 3 2 a 9 6 【解析】（1） T
2a(a 3 a(a 3 a2 9 6(a 3
a(a 32 a2 9 6a 18
a(a 32 a2 6a 9
a(a 32 (a 32 a(a 32 1 ． a
（2）∵正方形 ABCD 的边长为a ，且它的面积为9 ，
∴ a 9 3 ， 1 1 ∴ T ．
a 3
.02【考点】中位数，众数，平均数，用样本估计总数． 【答案】（1）16 ，17 ．（2）14 ．（3） 2800 ．
【解析】（1）这组数据按大小排序可得： 0 ， 7 ， 9 ，12 ，15 ，17 ，17 ，17 ， 20 ， 26 ．
15
17 中间两位数是15 ，17 ，则中位数是 16 ，
2 这组数据中17 ，出现的次数最多，则众数是17 ． （2） 这组数据的平均数是：
17 12 15 20 17 0 7 26 17 9 x 14 ．10
（3） 若该小区有200 名居民，该小区一周内使用共享单车的总次数大约是：
20014 2800 （次）． 【考点】不等式的应用，方案选择问题．
【答案】（1）应选择方案一，最少费用是7.2a 元．（2） x 10 且 x 为正整数．
【解析】（1）当 x 8 时，方案一的费用是： 0.9ax 0.9a 8 7.2a ，
方案二的费用是： 5a 0.8a(x 5 5a 0.8a(8 5 7.4a ，
∵ a 0 ， ∴ 7.2a 7.4a ，
答：应选择方案一，最少费用是7.2a 元．

.12
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（2）设方案一、二的费用分别为W1 ，W2 ，
由题意可得：W1 0.9ax （ x 为正整数）， 当0≤x≤5 时，W2 ax （ x 为正整数），
当 x 5 时，W2 5a (x 5 0.8a 0.8ax a （ x 为正整数）， ax 0≤x≤5∴W2 ，其中 x 为正整数，
0.8ax a x 5 由题意可得，W1 W2 ，


∵当0≤x≤5 时，W2 ax W1 ，不符合题意，
∴ 0.8ax a 0.9ax ，
解得 x 10 且 x 为正整数，
即该公司采用方案二购买更合算， x 的取值范围为 x 10 且 x 为正整数．

.2【考点】解分段函数解析式，画函数图象，一次函数与反比例函数图象共存问题，函数比较大小问题． 【答案】（1） y1 x ，函数图象如下：

y 3 2 1 –3 –2 –1 O 1 –1
–2
2 3
x （2）① k 4 ．
②当k 4 时， x 0 或 x
2 ． 当 k 4 时， x 2 或 x 0 ．
【解析】（1）∵ P(x, 0 与原点的距离为 y1 ，

∴当 x≥0 时， y1 OP x ，

当 x 0 时， y1 OP x ，

∴ y 关于 x 的函数解析式为 y
1 x(x≥0
，即为 y x ，函数图象如图所示．
x(x 0 


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y
3 2 1 –3 –2 –1
–1
–2
O 1 2 3
x

（2）∵ A 的纵坐标为2 ，
∴把 y 2 代入 y x ，可得 x 2 ， 此时 A 为(2, 2 ， k 2 2 4 ． 把 y 2 代入 y x ，可得 x 2 ， 此时 A 为(2, 2 ， k 2 2 4 ．
当 k 4 时，如图可得， y1 y2 时， x 0 或 x 2 ． 当 k 4 时，如图可得， y1 y2 时， x 2 或 x
y y1
3 2 1 –3 –2 –1 –1 –2 0 ．
O 1 2 3 A y2
x y2
–3 –2 –1
–1 –2 A
y 3 2 1 O
1 2 3
x y1

.32【考点】尺规作角平分线，全等三角形的判定，将军饮马最值问题，矩形的性质，勾股定理，相似三角形． 【答案】（1）如图所示：


D C
E
A
page - 14 - of 18 B




（2）①证明见解析．
8 2 ② BM MN 的最小值是 ．
3
【解析】（1）如图所示：



D C
E
A

B
（2）①在 AD 上取一点 F 使 DF DC ，连接 EF ，
∵ DE 平分∠ADC ， ∴∠FDE ∠CDE ， 在△FDE 和△CDE 中，
DF DC
∠FDE ∠CDE ，
DE DE ∴△FDE ≌△CDE （ SAS ），
∴∠DFE ∠DCE 90 ，∠AFE 180 ∠DFE 90 ， ∴∠DEF ∠DEC ， ∵ AD AB CD ， DF DC ， ∴ AF AB ，
在Rt△AFE 和Rt△ABE 中， AF AB
，
AE AE
D F
C
E
A B

∴ Rt△AFE ≌ Rt△ABE （ HL ）， ∴∠AEB ∠AEF ，
111 ∴∠AED ∠AEF ∠DEF ∠CEF ∠BEF (∠CEF ∠BEF 90 ，
2 2 2 ∴ AE⊥DE ．
②过点 D 作 DP⊥AB 于点 P ，

∵由①可知， B 、 F 关于 AE 对称， BM FM ， ∴ BM MN FM MN ，
当 F 、 M 、 N 三点共线且 FN⊥AB 时，有最小值，
∵ DP⊥AB ， AD AB CD 6 ，

∴∠DPB ∠ABC ∠C 90 ，
∴四边形 DPBC 是矩形，
∴ BP DC 2 ， AP AB BP 2 ，
D
C

F
E
M
A N P B

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在Rt△APD 中， DP AD2 AP2 4 2 ， ∵ FN⊥AB ，由①可知 AF AB 4 ， ∴ FN∥DP ，∴△AFN∽△ADP ， AF FN 4 FN ，解得 FN 8 2 ， ∴ ， 即 AD DP 6 4 2 3 8 2 ∴ BM MN 的最小值为 ．
3

.42【考点】二次函数与 x 轴交点问题，二次函数与圆综合，两点间距离公式，勾股定理，轴对称性质． 【答案】（1）证明略．
（2）①⊙ P 经过 y 轴上一个定点，该定点坐标为(0,1 ． l 6 5 10 ② ．r 5 【解析】（1）当抛物线与 x 轴相交时，令 y 0 ，得：
x2 mx 2m 4 0 ， ∴ m2 4(2m 4 m2 8m 16 (m 42 ， ∵ m 0 ， ∴ (m 42 0 ，
∴该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点．
（2）①令 y x2 mx 2m 4 (x 2(x m 2 0 ，

解得： x1 2 ， x2 m 2 ，
∵抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A ， B （点 A 在点 B 的右侧）， ∴ A(2, 0 ， B(2 m,0 ， ∵抛物线与 y 轴交于点C ， ∴ C(0, 2m 4 ， 设⊙ P 的圆心为 P(x0 , y0 ，


则 x0
2 (2 m m

，2 2
m ∴ P , y ，
2 0  且 PA PC ，则 PA2 PC2 ，
m 即 m 2 y 2 (2m 4 y 2 ， 2 0 2 0
2 2 page - 16 - of 18

解得 y0

3 2m
，2 m 3 2m ∴ P 2 , 2 ，
∴⊙ P 与 y 轴的另一交点的坐标为(0,b ， 则
b (2m 4 3 2m

，2 2

∴ b 1 ，
∴⊙ P 经过 y 轴上一个定点，该定点坐标为(0,1 ． ②由①知， D(0,1 在⊙ P 上，
m m , 3 2m ， P ∵ E 是点C 关于直线 x  2 的对称点，且⊙ P 的圆心 2 2 ∴ E(m, 2m 4 且点 E 在⊙ P 上，
即 D 、 E 、C 均在⊙ P 上的点，且∠DCE 90 ，
∴ DE 为⊙ P 的直径，
∴∠DBE 90 ， △DBE 为直角三角形， ∵ D(0,1 ， E(m, 2m 4 ， B(2 m,0 ，

∴ DB (m 22 12 (m 22 1 ，

BE (22 (2m 42 4 (2m 42 2 1 (m 22 ， ∴ BE 2DB ，
∴在Rt△DBE 中，设 DB x ，则 BE 2x ，

∴ DE DB2 BE2 5x ，

∴△BDE 的周长l DB BE DE x 2x 5x (3 5x ，

⊙ P 的半径r
DE 2
5 x ，
2 l (3 5x 6 5 ∴ 2 ．r 5
5 x 2 page - 17 - of 18

.52【考点】四边形的内角和，旋转性质，等边三角形性质，勾股定理，动点轨迹问题，弧长公式．
π
【答案】（1） 270 ．（2） AD2 CD2 BD2 ．（3） ．
3
【解析】（1）在四边形 ABCD 中，∠B 60 ，∠D 30 ，
∴∠A ∠C 360 B C 360 60 30 270 ．
（2） 如图，将△BCD 绕点 B 逆时针旋转60 ，得到△BAQ ，连接 DQ ，
∵ BD BQ ，∠DBQ 60 ， ∴△BDQ 是等边三角形， ∴ BD DQ ，
∵∠BAD ∠C 270 ， ∴∠BAD ∠BAQ 270 ， ∴∠DAQ 360 270 90， ∴△DAQ 是直角三角形，
Q
A D
B ∴ AD2 AE2 DQ2 ，
即 AD CD BD．
（3） 如图，将△BCE 绕点 B 逆时针旋转60 到△BAF ，连接 EF ，
∵ BE BF ，∠EBF 60 ， ∴△BEF 是等边三角形， ∴ EF BE ，∠BFE 60 ，
∵ AE2 BE2 CE2 ， ∴ AE2 EF 2 AF 2 ， ∴∠AFE 90 ，
∴∠BFA ∠BFE ∠AFE 60 90 150， ∴∠BEC 150 ，
则动点 E 在四边形 ABCD 内部运动，满足∠BEC 150 ， 以 BC 为边向外作等边△OBC ，
则点 E 是在以O 为圆心， OB 为半径的圆周上运动，

2 2 2 C 运动轨迹为 BC ， ∵ OB AB 1，
60π 1 π
则 BC ．
180
3 F B
A E C
D

O
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