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2019年全国数学竞赛试题详细参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会
《数学周报》杯”2013年全国初中数学竞赛试题参考答案
题号

-一一1〜5



_二6〜10

_三
11

12

13

14

总分
得分评卷人







复查人
答题时注意：1用圆珠笔或钢笔作答
2•解答书写时不要超过装订线.3.草稿纸不上交.
一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填都得0分
1.已知实数x,y满足刍二=3,y4-y^3，则-44y4的值为(.
XX
x
(A7【答】(A解：因为x2
1
(B
(C7"3
22
(D5
0，y2>0,由已知条件得
-1,13
2
2.4443
所以
44y4乡33-y2
XX
£-y26=7.
X
222
」(一P2+(—P—3=02222XX另解：由已知得:显然2-y2，以-2,y2为根的一元二次方22
Q+y-3=0
X
X

程为t2+t-3=0，所以
4
(一W+y2=-1,(―寸=-3
y2]2-2
故4

2.把一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m,n,则二次函数y=x2•mx•n的图象与X轴有两个不同交点的概率是(
.
X
2
y4二[(-2
X
XX222
2y=(T-2(-3=7X
(D

［答］（C）
解：基本事件总数有60=36,即可以得到36个二次函数.由题意知
；_=
_4n>0,即卩m2>4n.
通过枚举知，满足条件的m,n有17对.
36
3.有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有可2个不同的点，则这6个点以确定的不同直线最少有（
(A6条【答］（B）
解：如图，大圆周上有4个不同的点A，B，C，D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E，F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线.从而这6个点可以确定的直线不少于8条.
当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线.所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条.
4.已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB二a：：：1.以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB二AB二a，AE的长为（
）.
则
(第3题
）.
(C10条
(D12条
(B8条
(B1
【答］（B）
（C）乎
(D
解:女口图，连接OE，OA，OB.设.D=:，贝U
ECA=120
1
又因为ABOABD60
2
-EAC.
1
180-2：
2
-120-:
所以△ACE也△ABO，于是AE=OA=1.
另解：如图，作直径EF，连结AF，以点B为圆心，AB为半径作。B，因为AB=BC=BD，则点A，C，D都在。B上,
O
E
C
D
1
由F=EDA二CBA二60=30
22
所以AE=EFsimF=2sim30=1
1
AB
5.将1,2,3,4,5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三

个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（

.

（A）2种【答】（D）
（B）3种（C）4种（D）5种
解：设ai,a?,as,a4,a5是1,2,3,4,5的一个满足要求的排列.
首先，对于ai,a?,as,a°，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾.
又如果ai（Ki<3）是偶数，a-是奇数，则a：?是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数.
所以ai,a?,as,a。，a§只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：
2,1,3,4,5;2,3,5,4,1;2,5,1,4,3;
4,3,1,2,5;
4,5,3,2,1.
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6.对于实数u,v,定义一种运算“*”为：u-uvv.若关于x的方程x“（a”x）---
4
有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是________________.
【答】a•0,或a：：：-1.
1
1解：由x(ax，得(a1x2(a1x
0,4
4
依题意有
3+1^0,
:二(a12-(a10,
解得，a0，或a”-1.
7.小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_______分钟.
【答】4.
解：设18路公交车的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行驶的相邻两车距为s米.
每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则6x-6y=s.
一1
的间
每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则3x•3y二s.由①，②可得s=4x，所以-=4.
x
即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟.
(第8题


8.如图，在△ABC中，AB=7,AC=11,点M是BC的中点,AD是/BAC的平分线，MF//AD，贝UFC的长为__________【答】9.
解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，贝UMN//AB.又MF//AD，所以.FMN=/BAD=/DAC=/MFN，所以FN
=MN=1AB.
2
11因此FC二FNNCAB—AC=9.
22
（第8题答案）
E
另解：如图，过点C作AD的平行线交BA的延长线为E,延长MF交AE于点N.
贝UE=.BAD=DAC二ACE
所以AE=AC=11.又FN//CE，所以四边形CENF是等腰梯形,
11
即CF=EN=BE=沐(7
22
11=9
9.AABC中，AB=7,BC=8,CA=9,过厶ABC的内切圆圆心AB,AC相交于点D,E,则DE的长为______________
【答】16.
3
I作DE//BC,分别与
解：如图，设△ABC的三边长为a,b,c,内切圆I的半径为r,BC边上的高为ha，则
匚
ah
a-SAABC
12
2
(abcr,
所以
丄—a
haabc
ha-rDEha-
BC
因为△ADEsAABC，所以它们对应线段成比例，因此
所以
DE二山a=(1-丄a二hahaDE
另解：ABC二rp「P(P一a(p-b(p-c12435=12、5
(-1


abc
(这里p
匸…
所以r
12.512
2S^ABC2亿5门匚
3.5
8
5,ha——
a
2
DEha-r3.5-52由厶ADEsAABC,得—BCha3/53
即DE=?BC=16
3
3
10.关于x,y的方程x2•y2=：208(x-y的所有正整数解为_________________.
［答］Xx=48,x=160,答
y=32,y=32.
解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0,奇数的平方数除以4所得的余数为1,所以x,y都是偶数.
设x=2a,y=2b，贝U
22
ab=104(a-b,
同上可知，a,b都是偶数.设a=2c,b=2d，贝U
c2d2=52(c-d,
所以，c,d都是偶数.设c=2s,d=2t，贝U
st=26(s-t,
22
于是
其中s,t都是偶数.所以
(s-132(t132=2132,
222222
(s-13=213-(t13<213-15：：11.
所以|s-13可能为1,3,5,7,9,进而(t+132为337,329,313,289,257,故只能口
2
,从而s-
s=6,s=20,
是(t+佝二
289,13
二7.于是k=4；t=4,
]x=48gx=160y=32y=32.
因此
另解：因为(x-1042(y1042=21042=21632则有(y1042—21632,


又y正整数,所以仁八43



令a=|x—104|,b=|y+104|,则a2+b2=21632因为任何完全平方数的个位数为：1,4,5,6,9由a2b2=21632知a2,b2的个位数只能是1和1或6和6;当a2,b2的个位数是1和1时，则a,b的个位数字可以为1或9
但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与a2b2的十位数字为3矛盾。当a2,b2的个位数是6和6时，则a,b的个位数字可以为4或6。
由105汕叮47,取b=106,114,116,124,126,134,136,144,146代入a2b2
=21632
解得,a
得，只有当b=时，=56,即Jy=32Jy=32
三、解答题(共4题，每题15分，满分60分
11.在直角坐标系xOy中，一次函数y=kxb(k=0的图象与x轴、y轴的正半轴分别
交于A,B两点，且使得厶OAB的面积值等于OA+|OB+3.
(1用b表示k；

(2求厶OAB面积的最小
值.
解:(1令X=0,得y=b,b0；令y=0,得x—b0,k0.
136
x
=
48x160
=
：：


k
K
所以A,B两点的坐标分别为A(-—,0,B(0,b，于是，△OAB的面积为
kS(-b.
2k
由题意,
解得
丄b(-b=b3,
2kk
.2b-b2,ck,b2..…
2(b3
2
(2由(1知S_1b(bb(b3(b-2
(
2
kb-2
=b-2
7=(、b-2J：2
7(b-210b-27210>7
210,

当且仅当b-2
所以，△ABC面积的最小值为7210.
匹时，有S=7+2、,i0,即当b=2「、10,k=-1时，不等式中的等号成立.b-2
15分


12•是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程px2—qx・p=0有有理数根?解：设方程有有理数根，则判别式为平方数•令.：二q2—4p2二n2，其中n是一个非负整数.则（q一n）（qn）=4p2.
由于Kq-n<q+n,且q-n与qr同奇偶，故同为偶数•因此，有如下几种可能情形:
,2
qn=2,
消去n,解得q二p对于第1,3种情形,

q_n=2
q_n=4,qn=p2,
2
q-n二pqn=4p
q2p
“
22
2
q-n二p，
qn=2pqn=4.
10分
2
qY，
q詈，q=2p，q=2耳
p=2，从而q=5;对于第2，5种情形，p=2，从而q=4（不
合题意，舍去）；对于第4种情形，q是合数（不合题意，舍去）.
又当p=2，q=5时，方程为2x2-5x•2=0,它的根为x,J，x^2，它们都是有理数.

2
综上所述，存在满足题设的质数15分

2
★12、已知为正整数，关于的方程b=的两个实数根为为，?，
关于的方程2的两个实数根为〔，2，且满足22二

的最小值.

a,bxx-2ax0x
y
y•2ay•b=0yyx^Jy^x_y2008.求
b

另解：由韦达定理，得
‘％+『2=一2a=—
捲+X2=2a,捲阪2=b；+y2=-2a,y』y2=b
(X!+X2
y^-x2
=b=(-说-X2"—X1或」
M=-X2
=_片
把丫1』2的值分别代入捲山-x2_y2二2008得川-xj-x2_(-x2=2008或禺1_（訣）-X2d（-X1）=2008（不成立）
即x22—X：=2008，(X2X1(X2—Xj=2008因为％+x2=2a>0,为山2=b>0所以a0,x=0
2
于是有2a4a2-4b=2008即乩Ja2-b=502=1502=2251




亠匕=匕=分别解得:2或」或」2或」
22
经检验只有:2符合题意.2，222所以b的最小值为：最小值二=13•是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角△ABC?证明你的结
因为a,b都是正整数，所以』
a2_b=5022或'
a=502
—505亠
2
a—b=1
或」
'a=2—25122
a_b=251或"
251
1
b=1-502
502
b=502-1
b=2-25f
b=251-4
fa=251
I.
b=502-1
b
b=251-4
251-462997
2倍的
解：存在满足条件的三角形.
当^ABC的三边长分别为a=6,b=4,c=5时，.A=2.B.................................5分

如图，当.A=2.B时，延长BA至点D,使AD二AC二b.连接CD，则△ACD为等腰三角.BAC=2.B，所以形.因为.BACACD的一个外角，所以•BAC=2.D.由已知,■B二/D.所以△CBD为等腰三角形.
又.DACD与厶CBD的一个公共角，有△

ADCD即ba
即ICDBDabc
所以

(第13(A题答案


15分故存在满足条件的三角形.
说明：满足条件的三角形是唯一的.若.A=2B,可得a2=bbc.有如下三种情形:
(i当acb时，设a=n1,c=n,b=n-1(n为大于1的正整数，代入a2=bbc，得
n=n-12n-1，解得n=5，有a=6,b=4,c=5;
(ii当cab时，设c=n1,a=n,b=n-1(n为大于1的正整数，

代入a2=bb■c，得n2n_12n，解得n=2，有a=2,b=1,c=3，此时不能构成三角形；
(iii当abc时，设a二n1,b二n,c二n-1(n为大于1的正整数，
论.
而62=4(45，所以此三角形满足题设条件,
・
，
，
・
，

22
代入a=b(b+c，得n十1f=n(2n-1,即n-3n-1=0,此方程无整数解.
所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的

存在，而且只有三边长分别为4,5,6构成的三角形满足条件.
(
2倍的三角形
★13、如图，△ABC的三边长BC=a,AC=b,AB=c,a,b,c都是整数，且a,b



的最大公约数是2。点G和点I分别为△ABC的重心和内心，且.GIC-90，求△ABC的周长.另解：如图，连结GA，GB,过G，I作直线交BC、AC于点E、卩，作厶ABC的内切圆I，切BC边于点D。记△ABC的半周长为P,内切圆半径为r，BC，AC边上的高线长为ha,hb
sABC二rp「p(p-a(p-b(p-c
(p-a(p-b(p-c
易知：CD二p-c,在RtCIE中，DE—P—c
即DE=P
(
一P一
a(
b
(
•••CE=CDDE=(p-cP
—
a(p
一叭
p
P
又•••Cl—EF,CI平分ACB，所以CE=CF由SABC二S'ABG'SBEG'SAFG'SFEC
整理得2p2-cp二3ab，
SS-得.S-ABC勺得=.(a-越
ABC
ab
虬—(b-Obh
2
p3
b
2
p3
a
::2—
ab
——X
23p
2
p
即SABC=穿
(-a
2
3p2
h卫b(-bh卫a越
2
rpp
即3ab=2p-cp=p(2p-c=P(ab设厶ABC的周长为m，则m=2p二
6ab
为整数。
由已知(a,b=2，设a=2s,b=2t,且(s,t=1,s,t都是正整数，代入上式,
12stm
s+1
•••(s,st=1,(t,St=1,•••st是12的约数，即st=1，2，3,4，6，12
”s=1”s=2”s=3”s=5
不妨设s-1，贝((s,t=1，得t=1,t=1,t=1,t=1
I

"s=11"s=7,t=1
I
,t=5
I
lm=6|.m=8.m=9_m=10lm=11lm=35经检


验，只有t=5符合题意,
m=35
所以：a=14,b=10,c=11或a=10,b=14,c=11，即所求厶ABC的周长为35。14.从1，2,…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部，它们的和能被10整除，求n的最小值.
解：当n=4时，数1,3,5,8中没有若干个数的和能被10整除..............5分当n=5时，设a,a?,,,a5是1,2,…，9中的5个不同的数.若其中任意若干个数,
它们的和都不能被10整除，则a1,a2,,a5中不可能同时出现1和9;2和8;3和7;4和6.于是a,
a?,,a5中必定有一个数是5.
若a,a?,,,a5中含1,则不含9.于是不含4(4+1+5=10,故含6;于是不含3(3+6+1=10,故含7;于是不含2(2+1+7=10,故含8.但是5+7+8=20是10的倍数，矛盾.
若a1,a?,|1(,a5中含9,则不含1.于是不含6(6+9+5=20,故含4;于是不含7(7+4+9=20,故含3;于是不含8(8+9+3=10,故含2.但是5+3+2=10是10的倍数,矛盾.综上所述，n的最小值为5.........................15分
★★14、已知有6个互不相同的正整数a1,a2」l(,a6,且q”代叮1(：：：a6,从这6个数中任
12
a
k
意取出3个数，分别设为a,aj,ak,其中i£jvk。记f(i,j,k=—+—+—ai
a
3
j
证一定存在3个不同的数组(i,j,k,其中：：：j：：：k乞6,使得对应着的3个f(i,j,k两两之差的绝对值都小于0.5.(征求答案


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