高中重要解题方法——分离变量法
分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中,求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.
分离变量法:是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端,使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量,其中一个范围已知,另一个范围未知.
解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后,对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知
定理1 不等式
定理2 不等式
定理3 方程
解决问题时需要注意:(1)确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个;(2)确定是求最大值、最小值还是值域.
再现性题组:
1、 已知当x
2.若f(x)=
3,、若f(x)=
4、若方程
答案:
1、 解:原不等式
当x
∴
2、解:
只需
3、解:
在
4、解:令
【例题】
例1. 已知函数
【分析】法一(二次函数):问题转化为不等式组
法二(分离变量):问题转化为
例2.已知
【分析】方法一(根的分布):这个题目是一个标准的根的分布问题,解题时需要考虑: 开口方向,判别式,对称轴,特殊点的函数值.解题时需要分为大3类,小5类.学生能够部分得分,很难列出所有不等式组.
方法二(分离变量):问题转化为
通过对上述三道题目解答过程中出现的两种做法的比较,不难体会到,分离变方法的优越性:思维量小,过程简捷明快,思维严谨性的要求有所降低.不足之处:个别时候,分离后产生的函数,在求解其最值或值域时运算量较大.总体来说,多数时候,应优先使用分离变量法。
【练习】
1、 已知函数
2、已知
3、设
4、设函数是定义在
练习答案:
1、解:根据题意得:
即:
设
当
2、解:令
要使上式在
3、解:如果
又
又
4、解:
令
又
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